צורה
מתמטיקאים אוהבים לחשוב יותר מדי על דברים. זה בעצם מה שאנחנו עושים. אנחנו לוקחים מושג שכולם מבינים בצורה בסיסית, כמו "סימטריה" או "שוויון", מפרקים אותו לחתיכות ומנסים למצוא בו משמעות עמוקה יותר.
ניקח לדוגמה את המושג "צורה". כולנו יודעים פחות או יותר מהי צורה. אנחנו מסתכלים על עצם ויודעים בקלות אם הוא מעגל או מרובע או כל דבר אחר. אבל מתמטיקאי ישאל, מהי צורה? מה גורם לדברים ללבוש את הצורה שיש להם? כשאנחנו מזהים חפץ לפי צורתו, אנחנו מתעלמים מגודלו, מצבעו, משימושיו, מגילו וממשקלו, וגם משאלות כמו מה הביא אותו הנה או מי אחראי להחזיר אותו הביתה בסוף. ממה איננו מתעלמים? לְמה אנחנו מתכוונים כשאנחנו אומרים שלמשהו יש צורת מעגל?
השאלות האלה חסרות תכלית, כמובן. לכל שימוש מעשי, די שנבין באופן אינטואיטיבי מהי צורה. שום החלטה חשובה בחיינו אינה תלויה בצורה המדויקת שבה נגדיר "צורה". פשוט מדובר בסוגיה שמעניין לחשוב עליה, כלומר אם יש לנו זמן פנוי ואנחנו מוכנים לבזבז אותו במחשבות על צורה.
נניח שזה מה שאנחנו רוצים לעשות ושהזמן עומד לרשותנו. הנה שאלה שנוכל לשאול את עצמנו:
זאת שאלה פשוטה למדי, אבל בכלל לא קל לענות עליה. גרסה מדויקת ומוגבלת יותר של השאלה הזאת נקראת "השערת פּוּאַנקָרֶה המוכללת", והיא קיימת כבר יותר ממאה שנה ועדיין לא ידוע על מישהו שפתר אותה. רבים ניסו את כוחם, ומתמטיקאי אחד אפילו זכה לא מזמן בפרס של מיליון דולר על כך שהצליח לפתור נתח גדול ממנה. אבל עדיין נותרו סוגים רבים של צורות שלא נספרו, ולכן עוד לא ידוע לנו, בתור קהילה גלובלית, כמה צורות יש.
בואו ננסה לענות על השאלה הזאת. כמה צורות יש? מכיוון שאין לנו רעיונות טובים יותר, אולי כדאי לנו להתחיל לשרטט צורות ולראות לאן זה יוליך אותנו.
נראה שהתשובה שלנו תהיה תלויה בשאלה איך בדיוק נחלק את הדברים לסוגים שונים של צורות. האם מעגל גדול הוא אותה צורה כמו מעגל קטן? האם נספור את כל השרבוטים בתור צורה אחת או שנחלק אותם לפי דרך השרבוט? אנחנו זקוקים לחוק כללי שיכריע בוויכוחים מן הסוג הזה כדי שהשאלה "כמה צורות יש?" לא תוכרע בנפרד בכל מקרה לגופו.
אנחנו יכולים לבחור כאן כמה כללים, שיעזרו לנו להחליט מתי שתי צורות הן שונות ומתי הן אותה צורה. נגרים או מהנדסות, למשל, ירצו כלל מחמיר ומדויק מאוד, שיקבע ששתי צורות הן אותו הדבר רק אם כל האורכים, הזוויות והעקומות בהן מתאימים בשלמות. הכלל הזה מביא לסוג של מתמטיקה שנקרא גיאומטריה, שם הצורות נוקשות ומדויקות ועושים בהן פעולות כגון שרטוט אנכים וחישוב שטחים.
אנחנו זקוקים לכלל מקל יותר. אנחנו מנסים למצוא כל צורה אפשרית, ואין לנו זמן לסקור אלפי גרסאות שונות של שרבוטים. נחוץ לנו כלל שיהיה נדיב בשאלה מתי להחשיב שני דברים בתור בעלי אותה צורה, כלל שישבור את עולם הצורות למספר בר שליטה של קטגוריות רחבות.
כלל חדש
שתי צורות הן אותו הדבר אם אפשר להפוך אחת מהן לאחרת על ידי מתיחה וכיווץ, בלי קרעים ובלי הדבקות.
הכלל הזה הוא הרעיון המרכזי של הטופולוגיה, שהיא מין גרסה הזויה ורופפת של גיאומטריה. בטופולוגיה הצורות עשויות מחומר דקיק וגמיש מאין כמוהו, שאפשר לפתל ולעצב כמו גומי או בצק. בטופולוגיה אין חשיבות לגודל של צורה.
לפי הכלל הזה, מלבן וריבוע הם אותה צורה, וכך גם מעגל ואליפסה.
וכאן הדברים נעשים מוזרים: לפי כלל המתיחה והכיווץ, גם מעגל וריבוע הם אותה צורה!
לפני שאתם רצים לספר לחבר'ה שאתם קוראים ספר על מתמטיקה וכתוב בו שמעגל הוא ריבוע, זִכרו שההקשר חשוב: ריבוע הוא מעגל בטופולוגיה, אבל בוודאי לא באמנות ובאדריכלות, ולא בשום הקשר יומיומי, ואפילו לא בגיאומטריה, ואם תנסו לרכוב על אופניים שגלגליהם רבועים, לא תגיעו רחוק.
אבל כרגע אנחנו עוסקים בטופולוגיה, ובטופולוגיה מתעלמים מפרטים קטנים וחסרי חשיבות, כמו פינות חדות שאפשר לעגל. אנחנו מסתכלים מעבר להבדלים השטחיים, כגון אורכים וזוויות, או קצוות ישרים לעומת קצוות מעוגלים או מפותלים. אנחנו מתמקדים רק בצורה היסודית, הגרעינית, במאפיינים הבסיסיים שעומדים ביסוד הצורה. בטופולוגיה, כשמסתכלים על ריבוע או על מעגל, רואים רק לולאה סגורה. כל דבר אחר נקבע לפי הדרך שבה מותחים או מכווצים את הצורה בכל רגע נתון.
באופן דומה, אפשר לשאול, "איזו צורה יש למחרוזת?" היא בצורת ריבוע אם מחזיקים אותה בדרך מסוימת, ובצורת עיגול אם מחזיקים אותה בדרך אחרת. אבל בלי תלות באצבעות המחזיקות אותה, יש לה צורה מהותית, יסודית, שאינה משתנה לפי הנסיבות, ולא משנה אם כרגע היא בצורת ריבוע, מעגל, מתומן, לב, סהר, גוש חסר צורה או הֶפְּטָהֶקְטָהֶקְסָדֶקָגוֹן.
מאחר שלצורה הזאת יש מופעים רבים ושונים, לא יהיה נכון לקרוא לה ריבוע ולא מעגל. לפעמים קוראים לה מעגל בכל זאת, אבל השם הרשמי לצורה הזאת בטופולוגיה הוא "אֶס־אחת" (S-one). אס־אחת היא צורתם של מחרוזת, צמיד, גומייה, מסלול מרוצים, מעגל חשמלי, גבול של מדינה (בהנחה שאינה מורכבת מאיִים), האותיות O ו־D וכל לולאה סגורה אחרת. וכמו שריבוע הוא מקרה פרטי של מרובע, ועיגול הוא מקרה פרטי של אליפסה, כל הצורות האלה הן מקרים פרטיים של אס־אחת.
האם יש עוד צורות? כמה חבל יהיה אם יתברר שכלל המתיחה והכיווץ שלנו מתירני כל כך עד שבטעות ריכזנו את כל הצורות המגוונות בקטגוריה רחבה אחת. אבל לא, לא עשינו זאת. יש צורות שאינן שקולות למעגל.
למשל קו:
אפשר לעקם קו כמעט למעגל שלם, אבל כדי לקבל מעגל נצטרך להדביק את שני הקצוות זה לזה — וזה אסור. כל כמה שנתמרן ונעוות את הקו, תמיד יישארו לנו שני הקצוות המיוחדים האלה, שבהם הצורה פשוט נפסקת. אי אפשר להיפטר מהם. אפשר להזיז אותם ממקום למקום ולמתוח אותם, אבל שני הקצוות הם תכונה קבועה של הצורה הזאת.
בשל סיבה דומה, גם צורת שמונה היא צורה נפרדת. אין בה קצוות, אבל יש בה נקודה מיוחדת שבה הקווים חוצים זה את זה וממנה יוצאות ארבע זרועות, ולא שתיים בלבד כמו בכל נקודה אחרת. גם מהצומת הזה אי אפשר להיפטר, ולא משנה כמה נמתח ונכווץ את הצורה.
אם נחשוב על זה, נראה שיש לנו די מידע להשיב על השאלה המקורית, "כמה צורות יש?" התשובה היא אינסוף צורות, והנה ההוכחה:
הוכחה
נסתכל במשפחת הצורות הזאת: אפשר ליצור את הצורה הבאה בקבוצה על ידי הוספת קו חוצה לצורה הקודמת.
בכל צורה חדשה יש מספר גדול יותר של נקודות צומת ונקודות קצה מכל צורה לפניה, ומכאן שכל צורה חדשה שונה מכל קודמותיה. אם נמשיך לעשות זאת עד אינסוף, נקבל קבוצה אינסופית של צורות שונות, ולכן מספר הצורות אינסופי.
מש״ל
השתכנעתם? כל מה שעליכם לעשות הוא למצוא קבוצה אינסופית של צורות שונות, שבה ברור לגמרי איך יוצרים צורות חדשות שוב ושוב עד אינסוף.
גם הקבוצה הזאת הייתה עושה את העבודה:
וגם זאת:
וגם זאת:
לא משנה איזו משפחת צורות נבחר לצורך ההוכחה, הטיעון יהיה אותו טיעון. כשרוצים להראות שיש מספר אינסופי של דבר מסוים, מתארים תהליך שיטתי שבאמצעותו אפשר להוסיף וליצור דוגמאות נוספות של הדבר הזה. שיטת ההוכחה הזאת נקראת "טיעון המשפחה האינסופית", והיא כלי נפוץ מאוד במתמטיקה כשרוצים להוכיח שיש אינסוף פריטים של משהו. אותי הטיעון הזה משכנע — לא נראה לי שאפשר לסתור אותו. אם אפשר להוסיף וליצור עוד ועוד מאותו דבר לנצח נצחים, מספרם של הדברים האלה חייב להיות אינסופי.
ולא רק אני משוכנע. הקהילה המתמטית בכללותה רואה בטיעוני משפחה אינסופית שיטת הוכחה קבילה במתמטיקה. יש כמה שיטות הוכחה כאלה, שבהן חוזר אותו טיעון בהקשרים שונים כדי להוכיח דברים שונים. מי שעוסקים הרבה במתמטיקה מבחינים עד מהרה באותם דפוסי טיעון חוזרים ונשנים, וכולנו מסכימים (בדרך כלל) אילו דרכי הוכחה נחשבות קבילות.
אם ההוכחה הזאת מקובלת עליכם, יש לנו עכשיו תשובה על השאלה "כמה צורות יש?" התשובה היא אינסוף. זאת לא תשובה מעניינת ביותר, אבל היא התשובה שיש. ברגע שנשאלה שאלה וכללי ההיסק נקבעו בבירור, התשובה כבר קיימת. לנו נותר רק למצוא אותה.
השאלה הראשונה שעולה על דעתנו לא תוביל אותנו בהכרח אל התשובה המעניינת או המאלפת ביותר. כשזה קורה, אפשר לוותר ולמצוא משהו אחר לחשוב עליו, או לשאול שאלה טובה יותר.
צורה
מתמטיקאים אוהבים לחשוב יותר מדי על דברים. זה בעצם מה שאנחנו עושים. אנחנו לוקחים מושג שכולם מבינים בצורה בסיסית, כמו "סימטריה" או "שוויון", מפרקים אותו לחתיכות ומנסים למצוא בו משמעות עמוקה יותר.
ניקח לדוגמה את המושג "צורה". כולנו יודעים פחות או יותר מהי צורה. אנחנו מסתכלים על עצם ויודעים בקלות אם הוא מעגל או מרובע או כל דבר אחר. אבל מתמטיקאי ישאל, מהי צורה? מה גורם לדברים ללבוש את הצורה שיש להם? כשאנחנו מזהים חפץ לפי צורתו, אנחנו מתעלמים מגודלו, מצבעו, משימושיו, מגילו וממשקלו, וגם משאלות כמו מה הביא אותו הנה או מי אחראי להחזיר אותו הביתה בסוף. ממה איננו מתעלמים? לְמה אנחנו מתכוונים כשאנחנו אומרים שלמשהו יש צורת מעגל?
השאלות האלה חסרות תכלית, כמובן. לכל שימוש מעשי, די שנבין באופן אינטואיטיבי מהי צורה. שום החלטה חשובה בחיינו אינה תלויה בצורה המדויקת שבה נגדיר "צורה". פשוט מדובר בסוגיה שמעניין לחשוב עליה, כלומר אם יש לנו זמן פנוי ואנחנו מוכנים לבזבז אותו במחשבות על צורה.
נניח שזה מה שאנחנו רוצים לעשות ושהזמן עומד לרשותנו. הנה שאלה שנוכל לשאול את עצמנו:
זאת שאלה פשוטה למדי, אבל בכלל לא קל לענות עליה. גרסה מדויקת ומוגבלת יותר של השאלה הזאת נקראת "השערת פּוּאַנקָרֶה המוכללת", והיא קיימת כבר יותר ממאה שנה ועדיין לא ידוע על מישהו שפתר אותה. רבים ניסו את כוחם, ומתמטיקאי אחד אפילו זכה לא מזמן בפרס של מיליון דולר על כך שהצליח לפתור נתח גדול ממנה. אבל עדיין נותרו סוגים רבים של צורות שלא נספרו, ולכן עוד לא ידוע לנו, בתור קהילה גלובלית, כמה צורות יש.
בואו ננסה לענות על השאלה הזאת. כמה צורות יש? מכיוון שאין לנו רעיונות טובים יותר, אולי כדאי לנו להתחיל לשרטט צורות ולראות לאן זה יוליך אותנו.
נראה שהתשובה שלנו תהיה תלויה בשאלה איך בדיוק נחלק את הדברים לסוגים שונים של צורות. האם מעגל גדול הוא אותה צורה כמו מעגל קטן? האם נספור את כל השרבוטים בתור צורה אחת או שנחלק אותם לפי דרך השרבוט? אנחנו זקוקים לחוק כללי שיכריע בוויכוחים מן הסוג הזה כדי שהשאלה "כמה צורות יש?" לא תוכרע בנפרד בכל מקרה לגופו.
אנחנו יכולים לבחור כאן כמה כללים, שיעזרו לנו להחליט מתי שתי צורות הן שונות ומתי הן אותה צורה. נגרים או מהנדסות, למשל, ירצו כלל מחמיר ומדויק מאוד, שיקבע ששתי צורות הן אותו הדבר רק אם כל האורכים, הזוויות והעקומות בהן מתאימים בשלמות. הכלל הזה מביא לסוג של מתמטיקה שנקרא גיאומטריה, שם הצורות נוקשות ומדויקות ועושים בהן פעולות כגון שרטוט אנכים וחישוב שטחים.
אנחנו זקוקים לכלל מקל יותר. אנחנו מנסים למצוא כל צורה אפשרית, ואין לנו זמן לסקור אלפי גרסאות שונות של שרבוטים. נחוץ לנו כלל שיהיה נדיב בשאלה מתי להחשיב שני דברים בתור בעלי אותה צורה, כלל שישבור את עולם הצורות למספר בר שליטה של קטגוריות רחבות.
כלל חדש
שתי צורות הן אותו הדבר אם אפשר להפוך אחת מהן לאחרת על ידי מתיחה וכיווץ, בלי קרעים ובלי הדבקות.
הכלל הזה הוא הרעיון המרכזי של הטופולוגיה, שהיא מין גרסה הזויה ורופפת של גיאומטריה. בטופולוגיה הצורות עשויות מחומר דקיק וגמיש מאין כמוהו, שאפשר לפתל ולעצב כמו גומי או בצק. בטופולוגיה אין חשיבות לגודל של צורה.
לפי הכלל הזה, מלבן וריבוע הם אותה צורה, וכך גם מעגל ואליפסה.
וכאן הדברים נעשים מוזרים: לפי כלל המתיחה והכיווץ, גם מעגל וריבוע הם אותה צורה!
לפני שאתם רצים לספר לחבר'ה שאתם קוראים ספר על מתמטיקה וכתוב בו שמעגל הוא ריבוע, זִכרו שההקשר חשוב: ריבוע הוא מעגל בטופולוגיה, אבל בוודאי לא באמנות ובאדריכלות, ולא בשום הקשר יומיומי, ואפילו לא בגיאומטריה, ואם תנסו לרכוב על אופניים שגלגליהם רבועים, לא תגיעו רחוק.
אבל כרגע אנחנו עוסקים בטופולוגיה, ובטופולוגיה מתעלמים מפרטים קטנים וחסרי חשיבות, כמו פינות חדות שאפשר לעגל. אנחנו מסתכלים מעבר להבדלים השטחיים, כגון אורכים וזוויות, או קצוות ישרים לעומת קצוות מעוגלים או מפותלים. אנחנו מתמקדים רק בצורה היסודית, הגרעינית, במאפיינים הבסיסיים שעומדים ביסוד הצורה. בטופולוגיה, כשמסתכלים על ריבוע או על מעגל, רואים רק לולאה סגורה. כל דבר אחר נקבע לפי הדרך שבה מותחים או מכווצים את הצורה בכל רגע נתון.
באופן דומה, אפשר לשאול, "איזו צורה יש למחרוזת?" היא בצורת ריבוע אם מחזיקים אותה בדרך מסוימת, ובצורת עיגול אם מחזיקים אותה בדרך אחרת. אבל בלי תלות באצבעות המחזיקות אותה, יש לה צורה מהותית, יסודית, שאינה משתנה לפי הנסיבות, ולא משנה אם כרגע היא בצורת ריבוע, מעגל, מתומן, לב, סהר, גוש חסר צורה או הֶפְּטָהֶקְטָהֶקְסָדֶקָגוֹן.
מאחר שלצורה הזאת יש מופעים רבים ושונים, לא יהיה נכון לקרוא לה ריבוע ולא מעגל. לפעמים קוראים לה מעגל בכל זאת, אבל השם הרשמי לצורה הזאת בטופולוגיה הוא "אֶס־אחת" (S-one). אס־אחת היא צורתם של מחרוזת, צמיד, גומייה, מסלול מרוצים, מעגל חשמלי, גבול של מדינה (בהנחה שאינה מורכבת מאיִים), האותיות O ו־D וכל לולאה סגורה אחרת. וכמו שריבוע הוא מקרה פרטי של מרובע, ועיגול הוא מקרה פרטי של אליפסה, כל הצורות האלה הן מקרים פרטיים של אס־אחת.
האם יש עוד צורות? כמה חבל יהיה אם יתברר שכלל המתיחה והכיווץ שלנו מתירני כל כך עד שבטעות ריכזנו את כל הצורות המגוונות בקטגוריה רחבה אחת. אבל לא, לא עשינו זאת. יש צורות שאינן שקולות למעגל.
למשל קו:
אפשר לעקם קו כמעט למעגל שלם, אבל כדי לקבל מעגל נצטרך להדביק את שני הקצוות זה לזה — וזה אסור. כל כמה שנתמרן ונעוות את הקו, תמיד יישארו לנו שני הקצוות המיוחדים האלה, שבהם הצורה פשוט נפסקת. אי אפשר להיפטר מהם. אפשר להזיז אותם ממקום למקום ולמתוח אותם, אבל שני הקצוות הם תכונה קבועה של הצורה הזאת.
בשל סיבה דומה, גם צורת שמונה היא צורה נפרדת. אין בה קצוות, אבל יש בה נקודה מיוחדת שבה הקווים חוצים זה את זה וממנה יוצאות ארבע זרועות, ולא שתיים בלבד כמו בכל נקודה אחרת. גם מהצומת הזה אי אפשר להיפטר, ולא משנה כמה נמתח ונכווץ את הצורה.
אם נחשוב על זה, נראה שיש לנו די מידע להשיב על השאלה המקורית, "כמה צורות יש?" התשובה היא אינסוף צורות, והנה ההוכחה:
הוכחה
נסתכל במשפחת הצורות הזאת: אפשר ליצור את הצורה הבאה בקבוצה על ידי הוספת קו חוצה לצורה הקודמת.
בכל צורה חדשה יש מספר גדול יותר של נקודות צומת ונקודות קצה מכל צורה לפניה, ומכאן שכל צורה חדשה שונה מכל קודמותיה. אם נמשיך לעשות זאת עד אינסוף, נקבל קבוצה אינסופית של צורות שונות, ולכן מספר הצורות אינסופי.
מש״ל
השתכנעתם? כל מה שעליכם לעשות הוא למצוא קבוצה אינסופית של צורות שונות, שבה ברור לגמרי איך יוצרים צורות חדשות שוב ושוב עד אינסוף.
גם הקבוצה הזאת הייתה עושה את העבודה:
וגם זאת:
וגם זאת:
לא משנה איזו משפחת צורות נבחר לצורך ההוכחה, הטיעון יהיה אותו טיעון. כשרוצים להראות שיש מספר אינסופי של דבר מסוים, מתארים תהליך שיטתי שבאמצעותו אפשר להוסיף וליצור דוגמאות נוספות של הדבר הזה. שיטת ההוכחה הזאת נקראת "טיעון המשפחה האינסופית", והיא כלי נפוץ מאוד במתמטיקה כשרוצים להוכיח שיש אינסוף פריטים של משהו. אותי הטיעון הזה משכנע — לא נראה לי שאפשר לסתור אותו. אם אפשר להוסיף וליצור עוד ועוד מאותו דבר לנצח נצחים, מספרם של הדברים האלה חייב להיות אינסופי.
ולא רק אני משוכנע. הקהילה המתמטית בכללותה רואה בטיעוני משפחה אינסופית שיטת הוכחה קבילה במתמטיקה. יש כמה שיטות הוכחה כאלה, שבהן חוזר אותו טיעון בהקשרים שונים כדי להוכיח דברים שונים. מי שעוסקים הרבה במתמטיקה מבחינים עד מהרה באותם דפוסי טיעון חוזרים ונשנים, וכולנו מסכימים (בדרך כלל) אילו דרכי הוכחה נחשבות קבילות.
אם ההוכחה הזאת מקובלת עליכם, יש לנו עכשיו תשובה על השאלה "כמה צורות יש?" התשובה היא אינסוף. זאת לא תשובה מעניינת ביותר, אבל היא התשובה שיש. ברגע שנשאלה שאלה וכללי ההיסק נקבעו בבירור, התשובה כבר קיימת. לנו נותר רק למצוא אותה.
השאלה הראשונה שעולה על דעתנו לא תוביל אותנו בהכרח אל התשובה המעניינת או המאלפת ביותר. כשזה קורה, אפשר לוותר ולמצוא משהו אחר לחשוב עליו, או לשאול שאלה טובה יותר.
- לשמור רשימת מועדפים משלך
- לקבל המלצות קריאה אישיות
- לדעת על ספרים חדשים ומבצעים
- לשמור רשימת מועדפים משלך
- לקבל המלצות קריאה אישיות
- לדעת על ספרים חדשים ומבצעים
