המתמטיקה של החיים והמוות

פתח דבר
כמעט הכול

בני בן הארבע אוהב לשחק בגינה. הפעילות החביבה עליו היא לחפור ולהוציא כל מיני זוחלים מגעילים, בייחוד שבלולים. אם הוא מתאזר בסבלנות, השבלול, אחרי שהתאושש מן ההלם הראשוני של העקירה, מתחיל להגיח בזהירות מן הקונכייה שלו וגולש על ידיו הקטנות ומותיר עליהן עקבות של ריר צמיג. בסופו של דבר נמאס לילד מן החילזון והוא משליך אותו, די בגסות, על ערימה של זבל אורגני או על ערימת עצי ההסקה שמאחורי המחסן. יום אחד בחודש ספטמבר האחרון, אחרי פעילות נמרצת מן הרגיל שבה חשף והשמיד חמישה או שישה חלזונות, ניגש אליי בשעה שניסרתי עצי הסקה ושאל, "אבא, כמה חלזונות יש בגינה?" זו היתה שאלה מטעה בפשטותה, ולא היתה לי תשובה טובה. מספרם יכול להיות 100 ואף יכול להיות 1,000, ולמען האמת הילד לא היה מבין את ההבדל. ואף־על־פי־כן עוררה בי שאלתו עניין. האם יש דרך שנוכל להשיב עליה יחד?

החלטנו לעשות ניסוי. בבוקר יום שבת שלאחר מכן יצאנו יחד לאסוף חלזונות. אחרי 10 דקות כבר היו לנו 23 קוֹנכיתָנים. סימנתי X בעט סימון על הקונכיות שלהם, ואחר כך הפכנו את הדלי והנחנו להם לחזור אל הגינה.

כעבור שבוע יצאנו לסיבוב נוסף של איסוף חלזונות, והפעם ליקטנו ב-10 דקות רק 18 מהם. כשבדקנו אותם היטב מצאנו ששלושה מהם כבר מסומנים ב-X ו-15 האחרים לא. זה כל המידע שהיה נחוץ לנו כדי לעשות את החישוב.

וזה הרעיון: מספר החלזונות שלכדנו ביום הראשון, 23, הוא שיעור נתון מסך כל החלזונות בגינה, המספר שאנחנו מבקשים למצוא. אם נמצא את השיעור הזה, נוכל לחשב לפי מספר החלזונות שלכדנו את מספרם הכולל. לשם כך השתמשנו במדגם השני (של החלזונות שאספנו בשבת השנייה). שיעור החלזונות המסומנים, 3/18, אמור לייצג את שיעורם של החלזונות המסומנים בגינה בכללותה. אם נצמצם את היחס הזה נמצא שהחלזונות המסומנים הם אחד מכל שישה חלזונות באוכלוסייה בכללותה (ראו איור 1). מכאן שעלינו להכפיל את מספר החלזונות שאספנו ביום הראשון, 23, ב-6 כדי להגיע למספרם המשוער של כלל החלזונות בגינה — 138.

משסיימתי את החישוב הזה פניתי אל בני, שהיה עסוק ב"השגחה" על החלזונות שאספנו באותו היום. מה היתה תגובתו כשהודעתי לו שבגינתנו יש בערך 138 חלזונות? הוא העיף מבט בשברי הקונכייה שדבקו באצבעותיו ואמר, "אבא, עשיתי אותו מת." נותרו אפוא 137.

השיטה המתמטית הפשוטה הזאת נקראת "לכידה ולכידה חוזרת" (capture-recapture) והיא באה מתחום האקולוגיה, שם היא משמשת להערכת גודלן של אוכלוסיות בעלי חיים. אתם יכולים להשתמש בטכניקה הזאת בעצמכם, אם תיקחו שני מדגמים עצמאיים ותשוו את החלק החופף שלהם. אולי תרצו לאמוד את מספר כרטיסי ההגרלה שנמכרו ביריד מקומי או את מספר הצופים בתחרות כדורגל, באמצעות בדלי כרטיסים במקום לעשות ספירת ראשים מייגעת.

שיטת לכידה ולכידה חוזרת משמשת גם במיזמי מדע רציניים. היא יכולה להניב מידע חיוני על התנודות במספר בעלי החיים של מין הנתון בסכנת הכחדה, ואפשר לאמוד בעזרתה את מספרם של הדגים במקווה מים¹ כדי לקבוע כמה רישיונות דיג לחלק לציבור. השיטה יעילה כל כך עד שהשימוש בה חרג מתחום האקולוגיה, והיא משמשת לחישוב אומדנים מדויקים של כל דבר, ממספר המכורים לסמים באוכלוסייה נתונה^,2 ועד מספר הרוגי המלחמה בקוֹסוֹבו.³ זוהי דוגמה מעשית לכוחם של רעיונות מתמטיים פשוטים. מושגים מן הסוג הזה הם שייסקרו בספר הזה, ובהם אני משתמש דרך קבע בעבודתי בתחום המתמטיקה של הביולוגיה.

* * *

בדרך כלל, כשאני מספר לאנשים שאני ביולוג מתמטי הם מהנהנים בנימוס ואחר כך משתתקים במבוכה, כאילו אני עומד לבחון את זיכרונם על פתרון משוואה ריבועית או על משפט פיתגורס. ואין זו בהלה קלה בלבד, אלא הם מתקשים להבין איך תחום כמו מתמטיקה, שידוע להם שהוא מופשט, טהור ומרחף בעננים, יכול להיות קשור בכלל למקצוע כמו ביולוגיה, שנתפס בדעתם כעיסוק מעשי, שימושי ורחוק מלהיות טהור. לא פעם, הדיכוטומיה המלאכותית הזאת קיימת כבר בבית הספר. אם אהבתם מדעים אבל לא הייתם כוכבים גדולים באלגברה, היו מתעלים אתכם אל מדעי החיים; ואם אהבתם מדעים, כמוני, אבל לא ששתם לבתר כל מיני יצורים מתים (פעם אחת התעלפתי, בתחילתו של שיעור לנתיחת בעלי חיים, כשנכנסתי למעבדה וראיתי ראש דג מונח על השולחן לפניי), היו מנחים אתכם אל המדעים הטהורים. שני הקצוות כביכול לא ייפגשו לעולם.

זה מה שקרה לי. זנחתי את הביולוגיה בשנה השנייה שלי בתיכון ובחרתי במתמטיקה, פיזיקה וכימיה ברמה מוגברת. באוניברסיטה נאלצתי להמשיך בכיוון הזה והצטערתי על שהשארתי את הביולוגיה הרחק מאחוריי, מפני שחשבתי שהתחום הזה ניחן בכוח שלא ייאמן להיטיב את החיים בעולמנו. האפשרות שאצלול לנבכי עולם המתמטיקה הסעירה אותי, אבל לא יכולתי שלא לחשוש שמא אני בוחר לי מקצוע שאין לו שימושים מעשיים רבים. אין טעות גדולה מזו.

בזמן שבוססתי בים המתמטיקה הטהורה שלמדנו באוניברסיטה ושיננתי את ההוכחה למשפט ערך הביניים ואת ההגדרה של מרחב וקטורי, הפקתי הנאה רבה מן הקורסים למתמטיקה יישומית. האזנתי למרצים שהדגימו את המתמטיקה המשמשת את המהנדסים לבנות גשרים שלא ירטטו ולא יקרסו ברוח, או לתכנן כנפיים שיבטיחו שהמטוסים לא ייפלו מן השמים ארצה. למדתי את מכניקת הקוואנטים שהפיזיקאים משתמשים בה כדי להבין את ההתרחשויות המוזרות בעולם התת־אטומי, ואת תורת היחסות הפרטית שחוקרת את התוצאות המשונות הנובעות מן העובדה שמהירות האור קבועה בכל מערכות הייחוס. נרשמתי לקורסים על השימוש במתמטיקה בכימיה, בכלכלה ובתחום הכספים, וקראתי על הדרכים שבהן נעזרים במתמטיקה בספורט כדי לשפר את ביצועיהם של טובי האתלטים, ואיך היא מסייעת לתעשיית הקולנוע ליצור סצנות ממוחשבות שאינן יכולות להתקיים במציאות. בקצרה, למדתי שאפשר להשתמש במתמטיקה כדי לתאר כמעט כל דבר.

בשנתי השלישית באוניברסיטה התמזל מזלי להשתתף בקורס לביולוגיה מתמטית. המרצה היה פיליפ מֵייני, פרופסור מרתק מאירלנד הצפונית, בשנות הארבעים לחייו. לא זו בלבד שמייני היה חוקר בולט בתחומו, ולימים נבחר להיות חבר בחברה המלכותית למדעים, אלא שניכר בו שהוא אוהב את התחום הזה והתלהבותו דבקה בסטודנטים שבאולם ההרצאות.

לא רק ביולוגיה מתמטית למדתי מפיליפ מייני, אלא גם שמתמטיקאים הם בני אדם בעלי רגשות, ולא רובוטים חד־ממדיים כמו שהם מוצגים לא פעם. מתמטיקאי אינו רק "מכונה להפיכת קפה למשפטים מתמטיים", כמו שאמר פעם המתמטיקאי ההונגרי אלפרד רֶניִי. כשישבתי במשרדו של פיליפ והמתנתי לתחילת הריאיון על בקשתי שהוא יהיה המנחה שלי לדוקטורט, ראיתי על קירות המשרד מכתבי דחייה רבים, ממוסגרים, בגין בקשות מועמדות למשרות ניהול שהתפנו במועדוני כדורגל בליגה העליונה, שהגיש פיליפ בתור בדיחה. בסופו של דבר שוחחנו על כדורגל יותר משדיברנו על מתמטיקה.

בשלב הזה של לימודיי האקדמיים סייע לי פיליפ להשלים את ידיעותיי בביולוגיה. במהלך לימודי התואר השלישי, בהנחייתו, למדתי על היווצרותם של נחילי ארבה ועל הדרכים לעצור אותם, למדתי לחזות את הכוריאוגרפיה המורכבת של התפתחות העובר אצל יונקים ואת התוצאות הרות האסון כשהתהליך אינו מסונכרן, בניתי מודלים שמסבירים איך ביצי ציפורים נצבעות בדגמי צבע יפים וכתבתי אלגוריתמים למעקב אחר תנועתן החופשית של בקטריות בנוזל; עשיתי הדמיות של טפילים החודרים למערכת החיסון שלנו ומודלים של התפשטות מחלות קטלניות באוכלוסייה. העבודה שהתחלתי בה בימי הדוקטורט שלי היתה אבן הפינה של הקריירה שלי. אני עדיין עובד בתחומים המרתקים האלה ובתחומים אחרים של הביולוגיה, ועכשיו יש לי תלמידים משלי שאני מנחה לדוקטורט. בתפקידי הנוכחי אני פרופסור חבר (מרצה בכיר) למתמטיקה יישומית באוניברסיטת בּאת'.

* * *

בתור מתמטיקאי יישומי אני רואה במתמטיקה בראש ובראשונה כלי מעשי להבנת עולמנו המורכב. מודלים מתמטיים יכולים להעניק לנו יתרון במצבים יום־יומיים, ולשם כך אין צורך שיהיו בנויים ממאות נוסחאות מייגעות או מאלפי שורות קוד. בצורתה הבסיסית ביותר המתמטיקה עוסקת בדפוסים. בכל פעם שאתם מתבוננים בעולם אתם בונים לכם מודל משלכם על הדפוסים שאתם רואים. כשאתם מבחינים במוטיב חוזר בפּרַקטַל של ענפי עץ או בסימטריה רבת־פנים של פתית שלג אתם רואים מתמטיקה. כשאתם רוקעים ברגלכם לפי הקצב למשמע מוזיקה או כשקולכם מהדהד כשאתם שרים במקלחת, אתם שומעים מתמטיקה. כשאתם בועטים כדור מסובב אל השער או תופסים כדור קריקט במעופו הפַּרַבּולי אתם עושים מתמטיקה. עם כל חוויה חדשה, עם כל פיסת מידע חושי, המודלים שעשיתם מן הסביבה שלכם מתעדנים או מתעצבים מחדש ונעשים משוכללים ומורכבים עוד יותר. בניית מודלים מתמטיים שנועדו ללכוד את המציאות הסבוכה שלנו היא הדרך הטובה ביותר להבין את הכללים ששולטים בעולמנו.

אני סבור שהמודלים הפשוטים והחשובים ביותר הם סיפורים והקבלות. הדרך הטובה ביותר להדגים את השפעתם של זרמי התחתית הסמויים של המתמטיקה היא להראות את השפעתם על חייהם של בני אדם — למן הנדיר והיוצא מן הכלל ועד היום־יומי והשכיח. אם נתבונן מבעד לעדשה הנכונה נוכל להתחיל לחשוף את הכללים המתמטיים הנסתרים העומדים בבסיס חוויותינו המשותפות.

בשבעת הפרקים של הספר הזה מובאים סיפוריהם האמיתיים של מאורעות גורליים, שהמתמטיקה (במעשה או במחדל) מילאה בהם תפקיד מכריע: חולים ששיבוש גנטי המיט עליהם נכות, יזמים שפשטו את הרגל בגלל אלגוריתמים שגויים, קורבנות חפים מפשע של עיוותי דין או של שיבושי תוכנה. נעקוב אחרי סיפוריהם של משקיעים שאיבדו את ממונם ושל הורים שאיבדו את ילדיהם, והכול בגלל אי־הבנה מתמטית. נתמודד עם סוגיות אתיות בתחומים כמו בדיקות סקר רפואיות ותחבלנות סטטיסטית, ונבחן סוגיות חברתיות רלוונטיות כגון משאלי עם פוליטיים, מניעת מחלות, המשפט הפלילי והתבונה המלאכותית. הספר הזה יראה שלמתמטיקה יש דבר עמוק וחשוב לומר בכל התחומים האלה, ובאחרים.

בעמודי הספר הזה לא רק אצביע על המקומות שבהם המתמטיקה עשויה לצוץ אלא אצייד אתכם בכללים ובכלים מתמטיים פשוטים שיעזרו לכם בחיי היום־יום, ממציאת המושב הטוב ביותר ברכבת ועד שמירה על קור רוח כשאתם מקבלים תוצאה לא צפויה בבדיקה רפואית. אציע לכם דרכים פשוטות להימנע משגיאות מספריות, ואנו נלכלך את ידינו בדיו עיתונים כשנפענח את המספרים שמאחורי הכותרות. נכיר היכרות אישית וקרובה את המתמטיקה שמאחורי בדיקות גנטיות ישירות לצרכן ונתבונן במתמטיקה בשעת פעולה כשנבחן את הצעדים שיש לנקוט כדי לבלום את התפשטותה של מחלה קטלנית.

אני מקווה שכבר הבנתם שאין זה ספר מתמטיקה, ואף לא ספר למתמטיקאים. לא תמצאו בעמודים האלה אפילו משוואה אחת. אין בכוונתי להזכיר לכם את שיעורי המתמטיקה בבית הספר, שבוודאי שכחתם כבר לפני שנים רבות. אדרבה, אם אי־פעם גרמו לכם להרגיש שאינכם זכאים או אינכם מסוגלים לעסוק במתמטיקה, הספר הזה אולי ישחרר אתכם מן ההרגשה הזאת.

אני מאמין באמת ובתמים שהמתמטיקה מתאימה לכל אדם, וכולנו יכולים ליהנות מן היופי המתמטי שעומד ביסודן של התופעות המורכבות שאנו חווים מדי יום ביומו. כמו שנראה בפרקים הבאים, המתמטיקה היא אזעקת השווא שבתוכנו פנימה וביטחון השווא שמניח לנו להירדם בלילות; הסיפורים המוגשים לנו ברשתות החברתיות והמֶמים המופצים באמצעותן. מתמטיקה היא הפרצה בחוק וגם הדרך לסתום אותה; היא הטכנולוגיה שמצילה חיים וגם השגיאות שמסכנות אותם; התפשטותה של מחלה קטלנית והאסטרטגיות לבלום אותה. היא תקוותנו הטובה ביותר להשיב על השאלות היסודיות ביותר ולפענח את חידות היקום ואת מסתרי המין האנושי. המתמטיקה מוליכה אותנו בדרכים רבות מספור בחיינו ואורבת לנו ממש מאחורי הפרגוד, ומישירה אלינו את מבטה כשאנו נושמים את נשימתנו האחרונה.