הקדמה
יש לי חבר שמשוגע על מדעים, למרות היותו אמן. תמיד כשאנחנו נפגשים, הוא רוצה רק לדבר על החידוש האחרון בתחום הפסיכולוגיה או המכניקה הקוואנטית. אבל כשזה מגיע למתמטיקה, הוא הולך לאיבוד, וזה מעציב אותו. הסימנים המוזרים מרתיעים אותו. הוא אומר שאין לו מושג איך בכלל מבטאים אותם.
האמת היא, שלהסתייגות שלו יש שורשים עמוקים הרבה יותר. לא ברור לו מה המתמטיקאים עושים כל היום, או לְמה הם מתכוונים כשהם אומרים שהוכחה מסוימת היא ״אלגנטית״. לפעמים אנחנו מתבדחים על זה שכדאי שפשוט אושיב אותו ואלמד אותו הכול, מ־2 = 1 + 1 ועד לאן שנצליח להגיע.
זה אולי נשמע מטורף, אבל זה בדיוק מה שאנסה לעשות בספר הזה. יהיה זה סיור מודרך בין יסודות המתמטיקה, מגיל הגן עד לאוניברסיטה, לכל מי שרוצה הזדמנות שנייה במקצוע הזה, אבל הפעם מנקודת המבט של אדם בוגר. הסיור הזה לא אמור להיות תיקון. המטרה היא שתבינו טוב יותר מה זאת בכלל מתמטיקה ולָמה היא מלהיבה כל כך את אלה שמבינים אותה.
נגלה איך אפשר להסביר את יסודות הקַלקוּלוּס בעזרת ההטבעות של מייקל ג'ורדן. אראה לכם דרך פשוטה ומדהימה להבין את העיקרון המפורסם ההוא של הגיאומטריה: משפט פיתגורס (the Pythagorean theorem). ננסה לפתור כמה מן התעלומות הגדולות והקטנות של החיים: האם אוֹ־גֵ'יי (Simpson) עשה את זה? איך להפוך את המזרן כדי לצמצם ככל האפשר את הסיכוי שיתבלה? לכמה פגישות רומנטיות כדאי לצאת לפני שמתמסדים? ונבין מדוע מספרים אינסופיים מסוימים הם גדולים יותר ממספרים אינסופיים אחרים.
המתמטיקה נמצאת בכל מקום, אם יודעים איפה לחפש אותה. נאתר גלי סינוּס בפסים של זברה, נשמע את אֶוּקלידס (Euclid) מהדהד מתוך הכרזת העצמאות האמריקאית, ונזהה רמזים למספרים שליליים בתקופה שקדמה למלחמת העולם הראשונה. נראה גם איך סוגים חדשים של מתמטיקה נוגעים לחיינו בתקופה הנוכחית, כשאנחנו מחפשים מסעדות באמצעות האינטרנט וגם מנסים להבין — שלא לדבר על לצלוח בשלום — את התנודות המבהילות בשוק ההון.
בצירוף מקרים שהולם להפליא ספר שעוסק במספרים, הספר הנוכחי נולד ביום שבו מלאו לי חמישים. דייוויד שיפְּלי (Shipley), שהיה אז עורך עמוד הדעות של הניו יורק טיימס, הזמין אותי לארוחת צהריים ביום הגדול (בלי שהיה לו מושג על אירוע היובל המצוין בו) ושאל אם אני מוכן לכתוב סידרת מאמרים על מתמטיקה עבור הקוראים שלו. מצא חן בעיני הרעיון לחלוק את הנאות המתמטיקה עם קהל שאינו מסתכם רק בחבר האמן הסקרן שלי.
הטור שלי ״יסודות המתמטיקה״ הופיע לראשונה ברשת בסוף ינואר 2010, והתפרסם במשך חמישה־עשר שבועות. בתגובה התקבל שטף של מכתבים ותגובות מקוראים בני כל הגילאים. רבים מהכותבים היו סטודנטים ומורים. אחרים היו אנשים סקרנים שמסיבה זו או אחרת איבדו את הדרך מתישהו במהלך לימודי המתמטיקה שלהם, אבל עדיין מרגישים שהם מחמיצים משהו בעל ערך ורוצים לנסות שוב. במיוחד שימחו את ליבי התגובות שקיבלתי מהורים שהודו לי על כך שעזרתי להם להסביר את המתמטיקה לילדיהם ותוך כדי כך גם לעצמם. נראה שאפילו עמיתַי למקצוע וחובבי מתמטיקה מושבעים כמוני נהנו מהמאמרים, כשלא היו עסוקים בהצעות לשיפורים ולתיקונים (ואולי בייחוד אז!).
בסך הכול, ההתנסות הזו שיכנעה אותי שבקרב הציבור הרחב יש רעב גדול למתמטיקה, אם כי ממעטים להכיר בכך. חרף כל מה שאנו שומעים על חרדת מתמטיקה, רבים רוצים להבין את הנושא קצת יותר טוב. וכשהם מצליחים, הם מגלים שזה ממכֵּר.
הספר איקסטאזה! הוא מבוא לרעיונות המשכנעים ומרחיקי־ הלכת ביותר בתחום המתמטיקה. הפרקים, שחלקם לקוחים מהסידרה המקורית שהתפרסמה בטיימס, הם קצרצרים ועומדים בפני עצמם במידה רבה, כך שתרגישו חופשי לטעום מהם במנות קטנות בכל סדר שתבחרו. אם תרצו להעמיק יותר בנושא מסוים, פיזרנו פה ושם מראי מקומות והצעות לחיפוש ברשת, ולא העמסנו מעל המידה הראויה. בסוף הספר אנחנו גם מוסיפים המלצות לקריאה ולחיפוש, (ובמהדורה העברית הזאת הוספנו כמובן מה שכדאי לקרוא בעברית).
לטובת הקוראים שמעדיפים להתקדם צעד־צעד, ארגנתי את החומר בשישה חלקים עיקריים, בהתאם לשלד של תוכנית הלימודים המסורתית.
החלק הראשון, ״מספרים״, מתחיל את המסע שלנו בחשבון הפשוט שנלמד בגן ובבית הספר היסודי, תוך הדגשת התועלת שבמספרים והאופן היעיל להפליא שבו הם מתארים את העולם.
החלק השני, ״יחסים״, עובר מעיסוק במספרים לעיסוק ביחסים בין מספרים. אלה הרעיונות שעליהם מבוססת האלגברה. החשיבות העליונה שלהם נובעת מכך שהם מספקים את הכלים הראשונים לתיאור האופן שבו דבר אחד משפיע על דבר אחר, באמצעות סיבה ותוצאה, היצע וביקוש, מינון ותגובה, וכיוצא באלה — סוגי היחסים שהופכים את העולם למורכב ועשיר.
החלק השלישי, ״צורות״, עובר ממספרים וסימנים לצורות וחלל — מחוזן של הגיאומֶטריה והטְריגוֹנוֹמֶטריה. בנוסף לאפיון כל הדברים הנראים לעין, הנושאים האלה מעלים את המתמטיקה לרמות חדשות של דיוק באמצעות היגיון והוכחה.
בחלק הרביעי, ״שינוי״, אנחנו מגיעים לחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי — הקַלְקוּלוּס — הענף החד והפורה ביותר במתמטיקה. החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי איפשר לחזות את תנועת כוכבי־הלכת, את מחזורי הגאות והשפל, ופחות או יותר כל צורה אחרת של שינוי מתמשך ביקום ובעצמנו. החלק הזה מסתמך על תפקידו של האינסוף. בִּיוּת האינסוף היה פריצת הדרך שאיפשרה את פעולתו של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי. בעזרת ניצול כוחו האדיר של האינסוף, החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי הצליח לפתור בעיות נושנות רבות שהקדמונים לא הצליחו לגבור עליהן. הפיתרונות האלה הובילו בסופו של דבר למהפכה המדעית ולהתפתחות העולם המודרני.
החלק החמישי, ״נתונים״, עוסק בהסתברות, בסטטיסטיקה, ברשתות ובכְרִיית מידע — כולם תחומים חדשים יחסית, שצמחו בהשראת הפן השרירותי של החיים: סיכוי ומזל, אי־ודאות, סיכון, הפכפכות, אקראיות, קישוריות בין רכיבים. בעזרת המתמטיקה הנכונה והנתונים הנכונים, נראה איך מחלצים משמעות מתוך המערבולת.
לקראת סוף המסע שלנו, בחלק השישי, ״גבולות״, נתקרב אל קצה הידיעה המתמטית, אזור הסְפר בין מה שכבר ידוע ומה שעדיין לא מובן. סדר הפרקים בחלק הזה תואם את המבנה המוכר שבו השתמשנו לאורך הספר כולו — מספרים, יחסים, צורות, שינוי, ואינסוף — אבל כל אחד מהנושאים האלה מטופל כעת באופן מעמיק יותר, ובגלגול העכשווי שלו.
אני מקווה שכל הרעיונות שיוצגו בהמשך יעניקו לכם הנאה, וגם לא מעט רגעי הארה. אבל היות שכל מסע צריך להתחיל מן ההתחלה, בואו נתחיל מהפעולה הפשוטה והמופלאה של מנִייה.
