הקשר המתמטי
רק מזכירים לך שלא שופטים ספר לפי הכריכה שלו 😉
הקשר המתמטי
מכר
מאות
עותקים
הקשר המתמטי
הוספה למועדפים
מכר
מאות
עותקים

הקשר המתמטי

5 כוכבים (דירוג אחד)
ספר דיגיטלי
ספר מודפס
שליחת ספר דיגיטלי כמתנה
הוספה למועדפים

עוד על הספר

צבי ארטשטיין

צבי ארטשטיין הוא פרופסור למתמטיקה במכון ויצמן למדע. תרומותיו למחקר הן במגוון שטחים של האנליזה המתמטית ושימושיה השונים. עיסוקיו וניסיונו כוללים גם ניהול מדעי, העברת טכנולוגיה מהמדע הבסיסי לתעשייה, והוראה.

תקציר

הייתכן כי האבולוציה של המין האנושי השפיעה על הדרך שבה אנחנו יוצרים ומבינים מתמטיקה? עם איזו יכולת מתמטית נולדנו? כיצד הפכה המתמטיקה מדרך לתיאור הטבע לכלי חיזוי של תופעות שעדיין לא נצפו? מדוע הסתברות וסטטיסטיקה הם נושאים מבלבלים? מה המגבלות של הגישה המתמטית לתיאור של התנהגות אנושית? האם עידן המחשבים מוביל למתמטיקה חדשה? האם יש בכלל חשיבה מתמטית? ומדוע כל כך קשה ללמד וללמוד מתמטיקה?

בלשון בהירה ובתיאור נגיש גם למי שאין לו רקע במתמטיקה, מציג המחבר את קשרי הגומלין שבין המתמטיקה ובין השימושים שלה, כפי שהתפתחו החל מתקופות עתיקות ועד לימינו אלה. קשרים אלה כוללים תיאור והבנת העולם הפיזיקלי, הבנה של תופעות אקראיות, של ההתנהגות האנושית, ושל הממד החדש במתמטיקה שהביאו עימם המחשבים המהירים.

הדיון מלוּוה בבחינה של השפעת האבולוציה של המין האנושי על הפיתוח, ההטמעה וההבנה של המתמטיקה. המחבר מצביע על כך שהאבולוציה לא הכשירה אותנו להשתמש באופן אינטואיטיבי בכלים הבסיסיים של המתמטיקה ובכללם הלוגיקה, שפותחו כבר על ידי היוונים, והם משמשים אותנו עד היום. זו סיבה מרכזית לקושי בהוראה ובלימוד של המתמטיקה והיא משפיעה על תפיסת המתמטיקה אצל הקהל הרחב, אצל תלמידים ומורים.

הקשר המתמטי מצביע על דרכים לשיפור המצב. הקשר המתמטי הוא לא ספר לימוד במתמטיקה וגם לאלה "המפחדים" ממתמטיקה ייהנו מקריאתו.

פרק ראשון

I
אבולוציה, מתמטיקה, והאבולוציה של המתמטיקה
 
הייתכן כי האבולוציה השפיעה על המתמטיקה? • האם סוסים יודעים לחשב? • האם חולדות יודעות לספור? • האם תינוקות פותרים תרגילי חיבור וחיסור? • אילו מלבנים משמחים אותנו? • מדוע ליצנים מפחידים? • מהו צבע הכבשים באירלנד? • איך להמשיך את הסידרה 4, 14, 23, 34, 42, 50, 59, ...? • מדוע לרבע את המעגל? • מה התרומה של אשליות אופטיות למדע?
 
1. אבולוציה
תורת האבולוציה מזוהה עם צ'רלס דרווין, אבל טעות לחשוב שדרווין המציא את מושג האבולוציה. כבר נאמר בקהלת פרק א פסוק ט, "אֵין כָּל חָדָשׁ תַּחַת הַשָּׁמֶשׁ", ומובן שאמירה פילוסופית זו נכתבה בתגובה לעובדה הברורה שהעולם שמסביבנו נתון לשינויים מתמידים. בכל זמן נתון אנו רואים תמונת מצב עכשווית של הסובב אותנו, אך אנו גם עוקבים אחרי שינויים המתרחשים בתקופת חיינו ומודעים גם לשינויים המתרחשים בטווחי זמן שאיננו יכולים לעקוב אחריהם ישירות. מן העדויות אודות שינויים שהתרחשו בעבר אפשר פעמים רבות להסיק מה גרם להיווצרותם. הדברים אמורים הן בעולם הפיזי שמסביבנו - סלעים, חי, צומח - והן בעולם החברתי - דרכי התנהגות, אופנה, ספרות - ובשיטות רפואה, בטכנולוגיה וכדומה. להתפתחויות יש מנגנון משלהן. לפעמים ברור מה שׂורד, מה משתנה, ומה נכחד. לפעמים המנגנון לא קל לזיהוי.
קחו למשל את פני השטח הגיאוגרפי. ישנם סלעים שנשארים עומדים שנים רבות, אחרים נעלמים לנגד עינינו ברוח. מה גורם להבדל? ברור שהמרקם של הסלע הוא זה שגורם להבדלים "בכושר ההישרדות" שבין סוגי סלע שונים. סלע בזלת נשאר, סלע הבנוי מאבן גיר מתפורר. לא תראו דיונות בראשי הרים, כי הן תיסחפנה ברוח. אפשר לומר שהחזק מנצח, המתאים שורד. אנחנו יכולים להסיק כי לתכונה "עשוי בזלת" יש יתרון במאבק ההישרדות בראש הר. זו אמירה טריוויאלית בעולם הסלעים, ובדרך כלל אנחנו לא בוחנים סלעים במונחים של תחרות על הישרדות. אבל האבחנה כי המתאים יותר לסביבה שורד היא אבחנה נכונה בעולם הסלעים כמו בעולם של חברות אנושיות. היסטוריונים, בתארם את מהלך ההיסטוריה האנושית, מנסים להבין מדוע חברה מסוימת שרדה ואחרת נכחדה. אבחנות אלה מנוסחות בדרך כלל במונחים של יתרונות שהיו לחברה המנצחת על פני המנוצחים. מהתכונות של חברה או של מין אפשר ללמוד על התנאים שבהם החברה, או המין, התפתחו. באותה מידה, מהתנאים שבהם מין מסוים התפתח אפשר להסיק מהם היתרונות שהביאו אותו לנצח במאבק ההישרדות.
תרומתו הגדולה של דרווין לתורת האבולוציה היתה זיהוי המנגנון לפיו מיני חיות ומיני צמחים משתנים ומתפתחים. שלא כמו לָמָארְק (Lamarck) שטען כי כל מין מסגל את עצמו לסביבה שבה הוא חי והתכונות הנרכשות הללו עוברות אז בתורשה, דרווין הצביע על מנגנון אחר לשינויים שכל מין עובר: הוא מורכב משני אלמנטים מרכזיים - מוטציה וסלקציה. בתהליך ההִתרבות, הפרטים הנולדים עוברים מוטציות הגורמות לשינויים אקראיים, ומזעריים בדרך כלל, בתכונות של פרטים אלה. הפרטים בעלי התכונות המתאימות ביותר מתרבים בקצב המהיר ביותר, וזו הסלקציה אשר גורמת לכך שהדורות הבאים של כל מין יתפתחו לכיווּן המתאים לתנאי הסביבה. המינים המתאימים ביותר בין אלה המתחרים על אותם מקורות מחיה, הם השורדים.
 
צ'רלס רוברט דרווין (1809-1882) נולד בעיר שְרוּזבֵּרי שבאנגליה למשפחה מבוססת. אביו היה רופא קהילה אמיד. סבו, אֶרַסמוּס דרווין, שנפטר לפני שצ'רלס נולד אך כתביו היו ברשות צ'רלס, היה פילוסוף ומדען טבע שדגל בתורת האבולוציה של למארק (1744-1809). צ'רלס הצעיר היה חשוף לעשייה מדעית אבל לא היה תלמיד שקדן במיוחד. במקום להשקיע בלימודים ניצל את זמנו לטיולים בטבע ולאיסוף פרטי טבע שונים. בגיל 23 ניצל הזדמנות שנקרתה לו להצטרף כמדען למשלחת באוניית המסע בִּיגְל, שמשימתה העיקרית היתה למפות את חופי אוסטרליה ודרום אמריקה עבור ממלכת בריטניה הגדולה. משימתו שלו היתה איסוף ומיון של פרטים גיאולוגיים, זואולוגיים ובוטניים. תוך כדי המסע הוא שם לב לתופעות של קיום מינים שונים אך דומים המתגוררים בחבלי ארץ קרובים, בעיקר באיי גָלָפָּגוֹס, שם עלה במוחו רעיון המודל האבולוציוני הכולל את המוטציות והסלקציה. ראוי לציין כי בפיתוח תורת האבולוציה של מיני החי והצומח הושפע דרווין עמוקות מתורתו של הפילוסוף המדיני תומאס מַלְתוּס (Malthus), שחי חצי מאה לפניו, על התפתחויות דמוגרפיות וכלכליות של חברות אנושיות. האוטוביוגרפיה שכתב דרווין מלמדת על כך שהיה אדם צנוע וחכם, והיא רצופה אמרות המצביעות על הבנה עמוקה של אבולוציה, מעבר לטכניקה שגילה. למשל, בהתייחסו לעמיתו המבוגר ליאונרד גֶ'נִינס (Jenyns), שעימו ניהל שיחות רבות על הטבע, דרווין אומר "בתחילה סלדתי ממנו משום שהיה בעל הבעה קודרת ורוחשת בוז במידת מה, ורושם ראשוני אינו אובד בקלות, אבל התברר שטעיתי בו לחלוטין". את הקשר שבין הביטוי "רושם ראשוני אינו אובד בקלות" לבין האבולוציה עוד נראה מאוחר יותר.
אף על פי שאת מחשבותיו על האבולוציה והראָיות הרבות שמצא לתורתו חלק עם חבריו המדענים, וביניהם מן הידועים והמפורסמים שבמדעני בריטניה אז, הוא היסס לפרסם את מימצאיו ברבים. את תורתו הסכים לפרסם רק אחרי שאלפרד וָאלָאס (Wallace), מדען צעיר שהיה בעצמו חוקר טבע וערך מסעות חקר רבים בדרום אמריקה ובמזרח הרחוק, שלח לפרסום מאמר שכלל רעיונות זהים לאלה של דרווין, אם כי עם ביסוס מינימלי בלבד. הדבר נודע לחבריו של דרווין והם דחקו בו לפרסם את תוצאות מחקריו, וכך זכינו בספר "מוצא המינים". כתוצאה מכך, בדיווח הרשמי הראשון על התורה הוצגו במקביל המאמר של ואלאס והתורה של דרווין.
ההיסוס רב־השנים של דרווין בפרסום מסקנותיו נגרם מסיבות שונות. חלקן נבע מהתנגשות אפשרית עם האמונה הדתית המייחסת לבריאה את קיום המינים השונים. אשתו של דרווין, אֶמָה וֶודג'ווּד, היתה בעלת אמונה דתית עמוקה ודרווין לא רצה לפגוע בה. אבל סיבה לא פחות חשובה להיסוסיו בפרסום מנגנון האבולוציה שמצא היתה, כי למרות מכלול הראיות שהיו בידיו על התרחשות האבולוציה, קטעים רבים של התורה היו עדיין ללא ראָיה או ביסוס מדעי. בפרט לא יכול היה דרווין להציג מנגנון ביולוגי הגורם להתרחשות המוטציות. המנגנון הזה זוהה רק במחצית השנייה של המאה העשרים כאשר התגלו הגֶנים שבמולקולת הדנ"א, אשר תוך כדי השתכפלותה מתרחשות מוטציות מקריות.
 
מוטציות וסלקציה של גנים הם הבסיס להבנה המודרנית של תהליך האבולוציה בעולם החי והצומח. הגנים הם הנושאים את התכונות החשובות להישרדות ולהתפתחות של כל מין. מכלול הגנים ודרכי הביטוי שלהם בסביבת המחיה של המין מגדירים את תכונותיו. השינויים בגנים הם האחראים לשינויים במין. אבל גם בלי לעקוב אחרי הגנים עצמם, מן ההיכרות של התנאים שבהם התפתח, שרד וניצח מין, אפשר ללמוד על התכונות המקודדות בגנים שלו, אלו העוברות מדור לדור. גם הכיוון השני של הטענה נכון: מן התכונות שאפשר לצפות בהן ברגע נתון אפשר ללמוד על התנאים שבהם התפתח כל מין.
הנה דוגמה לדרך שבה אפשר ללמוד על הקשר שבין תנאי התפתחות של מינים לתכונותיהם היום. הדוגמה היא מתוך סיור שערכתי לפני מספר שנים באיי גָלָפָּגוֹס, והיא מתייחסת למנהגי חיזור של ציפורים.

 
קוֹרְמוֹרָן הסלעים בתמונה הימנית לא יודע לעוף. הוא חי על סלעים חשופים ליד הים, הנתונים תחת רוח חזקה. היכולת למצוא זרדים ולבנות קן ראוי חשובה ביותר להישרדות המין בתנאים קשים אלה. בתהליך החיזור מַדגים הקורמורן לבת זוגו המיועדת את יכולתו לקושש זרדים לבניית הקן המשותף. הכלה לעתיד תיענה לבן הזוג רק אם ידגים את יכולותיו אלה. הדוגמה השנייה היא הפְרִיגָטָה (Frigatebird) בתמונה האמצעית. בתהליך החיזור הזכר מנפח את הזפק שלו לכדי בלון ענק באדום בולט, וזאת כדי להראות לבת הזוג המיועדת כי ריאותיו חזקות והוא יוכל לעוף למרחק כדי לשלות דגים. ובדוגמה שמשמאל, הציפור הזכר מדגים בתהליך החיזור יתרונות אחרים לגמרי. הטיפש בעל הרגל הכחולה (Blue footed booby) הוא מין של ציפור בו הזכר דוגר על הביצים ומגן עליהן על ידי כיסויָין בכף רגלו הגדולה והכחולה. לכן מנסה הזכר למשוך את ליבה של זוגתו העתידית על ידי כך שהוא מציג לפניה את כפות רגליו הרחבות והשלמות, וכך מבטיח שיוכל לשמור על הביצים המשותפות שלהם מפני אויבים ומפני מזג אוויר הפכפך.
אלה דוגמאות לכך שהתכונות והמנהגים שאנו מזהים היום מצביעים על התכונות בעלות החשיבות האבולוציונית, וכך אנו למדים איך שרד כל מין ומין את המאבק האבולוציוני.
התכונות העיקריות שעזרו לאוכלוסייה מסוימת לנצח במאבק ההישרדות בזמן התהוות המינים נצרבו בגנים של המין ונוכל לזהותם כתכונות מוּלדות. המהירות של הצ'יטה, הראייה הפנומנלית של העיט, יכולת הטיפוס על עצים של החתול, כל אלה הן תכונות מולדות. גור הצ'יטה נולד עם האפשרות והידע הבסיסיים לרוץ מהר. הגור זקוק יהיה לעזרה של ההורים כדי ללמוד ממה לפחוֹד, איך לצוד, ואפילו כיצד לרוץ ביעילות, אבל התכונות הבסיסיות של הריצה והצַיִד טבועות בגנים שלו. באותה מידה מכילים הגנים של החתול את האפשרות ללמוד לתפוס עכברים, ובין התכונות המולדות של העיט נמצאת יכולת הראייה והזיהוי של טרף אפשרי במרחקים. הלימוד הוא רק עידון ושיפור של התכונה המולדת. מן התכונות של כל מין אפשר ללמוד על התנאים שבהם התפתח המין, ולחילופין, מהכרת התנאים שבהם התפתח המין אפשר ללמוד על התכונות שהתפתחו אצלו.
הדעת נותנת כי באותה מידה שבה תכונות גופניות של מיני בעלי חיים הן תכונות מולדות המקודדות בגנים שלהם, גם חלק מהתכונות המנטליות מקודדות כבר בגנים של בעלי החיים למיניהם, ואינן רק תוצאה של השפעת הסביבה או תוצר לוואי של התפתחות אחרת. הרי יכולות מנטליות וחברתיות משחקות גם הן תפקיד במאבק ההישרדות, ולכן תהליך הסלקציה מעצים את התכונות העוזרות למין לגבור על יריביו. ובפרט, גם תכונות מנטליות ניתנות לשינויים ולשיפורים על ידי מוטציות בתהליך ההתרבות. בפרקים הבאים נבחן את היכולת המתמטית של המין האנושי מנקודת מבטה של האבולוציה. נשאל, האם הכושר להבין ולהשתמש במתמטיקה הוא תוצאה של התפתחות אבולוציונית, או אולי הוא תוצר לוואי של מוח שהתפתח לצרכים אחרים.
 
2. יכולת מתמטית בעולם החי
אם יכולת מתמטית שיחקה תפקיד במאבק האבולוציוני שהביא את המין האנושי למקום שהוא תופס בין שאר המינים, ניתן לשער שגם מיני בעלי חיים אחרים יהיו בעלי יכולת מתמטית במידה מסוימת. אך מה הכוונה בביטוי "יכולת מתמטית"? למתמטיקה קשת רחבה ומגוּונת של נושאים ושיטות מחשבתיות. השאלה הנכונה, אם כך, היא: מהם אותם נושאים של המתמטיקה שהיה בהם יתרון אבולוציוני? ושאלה נוספת היא, כיצד נדע לזהות את היכולת המתמטית הזו אצל בעלי חיים?
האלמנט המתמטי הפשוט ביותר הוא מנִיָיה. אחריו באות ההבנה של מושג המספר כאובייקט מופשט, והיכולת לבצע פעולות אריתמטיות פשוטות כמו חיבור וחיסור. נדון תחילה בהופעת אלמנטים פשוטים אלה בחיות בוגרות. אמא חתולה מעבירה את גוריה ממקום למקום ובדרך כלל אינה שוכחת גור או שניים, וכאשר מושלמת העברת הגורים היא לא חוזרת, בדרך כלל, לחפש האם כל הגורים הועברו. ייתכן שהיא זוכרת אותם אחד אחד, אבל מתקבל על הדעת שיש לאמא חתולה גם חוש של כמות. לאינסטינקט של הערכת כמות יש באופן ברור יתרון אבולוציוני, כך שאיננו צריכים להתפלא כי לחיות בוגרות יש את היכולת להעריך כמויות. אבל האם יכולת זו מגיעה לכדי יכולת מנייה ולאפשרות של מניפולציות אריתמטיות?
לפני שנציג כמה דוגמאות משכנעות לכך שלכמה וכמה מינים של בעלי חיים יש יכולות אריתמטיות צריך להקדים אזהרה. דרושה זהירות רבה בפרשנות של ניסויים בכלל, ובחיות בפרט. מקרה מפורסם הוא מקרה "הַנְס החכם" (Clever Hans). לקראת סוף המאה התשע־עשרה הופיע במסע הצגות בגרמניה סוס שזכה לכינוי הנס החכם, עם מאמנו וילהלם פון אוֹסטֶן (von Osten). הסוס הראה יכולות יוצאות דופן בחיבור וחיסור מספרים, וכן בפעולות של העלאה בריבוע, חילוק פשוט וכיוצא באלה, הכול בהצלחה גבוהה מאוד. הסוס טעה מדי פעם, אבל טעויות אלה קרו בתדירות נמוכה. השיטה שבה הראה הסוס את יכולותיו היתה זו: כשהקריאו או רשמו על לוח תרגיל מסוים, הסוס היה רוקע בפרסתו מספר פעמים כמספר הנותן את התשובה הנכונה. העניין נראה כסתם רמאות, שבה מצליח המאמן להעביר לסוס בצורה זו אחרת את התשובה הנכונה. אבל ועדה רשמית בראשות פסיכולוג בשם קרל שְטוּמפּף (Stumpf), שכללה גם את מנהל גן החיות בברלין ושבדקה בין השאר את היכולת של הסוס לפתור תרגילים ללא נוכחות המאמן, מצאה שהמאמן לא מרמה, והסוס אכן יודע את התשובה הנכונה. המסקנה היתה, כי ישנם בעלי חיים עם יכולת מתמטית מתקדמת למדי. והנה, בדיקות מדוקדקות יותר בשנת 1907, על ידי פסיכולוג אחר בשם אוסקר פְּפוּנגסְט (Pfungst), הראו שהסוס לא ידע מתמטיקה. המאמן היה אמין וישר, אלא שהסוס ידע להבחין בהבעות פנים ובהבעות רגשות לא רצוניות של המאמן, ושל הקהל במקרים שבהם המאמן לא היה נוכח. מהבעות אלה הסיק הסוס מתי הגיע מספר הרקיעות לתשובה הנכונה. נוכחות הקהל או המאמן היו קריטיות. הוועדה מצאה שכאשר המאמן עטה על פניו הבעה של מתח גם כאשר התשובה אינה נכונה, הסוס היה עונה לפי ההבעה, ולא את התשובה הנכונה. השיטות שפיתח פונגסט בעקבות מקרה זה מוכרות היום כאבן דרך במחקר הפסיכולוגי.
ניסויים מדעיים מבוססים יותר הצליחו להראות שקיימות יכולות מתמטיות אצל בעלי חיים. הזואולוג הגרמני אוטו קוֹלֶר (Koehler, 1889-1974) הראה כבר בשנות השלושים של המאה הקודמת כי למיני ציפורים שונים יש יכולת לזהות אוסף עם מספר נתון מראש של עצמים. הסתבר כי לא קשה לאמן יונה שכאשר יציגו לפניה שורה של גרעינים תבחר כל גרעין שלישי. אפשר לאמן סנאי לכך שכאשר מציעים לו מספר קופסאות עם אגוזים יבחר את הקופסה שבה בדיוק חמישה אגוזים. יש גבול מספרי לכושר הזיהוי של בעלי חיים אלה. כבר קולר עצמו מצא כי אפילו החיות המוכשרות ביותר אינן מצליחות לזהות אוספים עם יותר מאשר שבעה עצמים. המספר שבע מופיע בספרות המדעית כחסם על כמות האינפורמציה שהמוח האנושי מסוגל לעבד ועוד ניתקל בו בהקשרים דומים. עדיין, הערכת כמויות מראה על כושר מתמטי, אבל היא לא מעידה על מנייה או על תפיסה מופשטת של מושג המספר.
ידוע כי לעורבים בוגרים יש, בגבולות מסוימים, יכולת מנייה. מניחים אוכל טעים לעורב ליד מבנה סגור. מהר מאוד לומד העורב כי ניסיון להתקרב לאוכל כאשר מישהו נמצא בבניין הוא מסוכן עבורו. העורב לא יכול לראות האם הבית ריק או לא, אבל הוא כן יכול להבחין כאשר מישהו נכנס או יוצא מן המבנה. בספרות הפופולרית (ללא בקרה מדעית, צריך להיאמר) דוּוח על מקרים שבהם נותנים למספר אנשים להיכנס לבית, אחד אחרי השני. כל זמן שהם שוהים בבניין, העורב אינו מתקרב. אז מבקשים מאלה הנמצאים בבניין לצאת אחד אחרי השני. בדייקנות מפתיעה מזהה העורב מתי יצאו כל הנכנסים ורק אז הוא מתקרב לבניין. יש כמובן גבול ליכולת הדיוק של העורב, כמו שישנו גבול גם ליכולת הספירה של בני האדם. עורבים הצליחו לספור בצורה כזו עד חמישה או שישה אנשים, בדיוק רב.
היכולת שהפגינו העורבים בדוגמה שלנו מתיישבת עם יתרון אבולוציוני. היכולת למנות היא ללא ספק יתרון במאבק ההישרדות. אבל מקור היכולת הזו אינו ברור. אחרי הכל, כמה פעמים באבולוציה של העורבים הם נתקלו במצב שבו יש למנות בעלי חיים מסוכנים הנכנסים ויוצאים מבניין? בפרט, לא ברור אם הספירה לכאורה היא ספירה במובן מתמטי. כלומר, האם לעורב, בצורה מודעת או לא, יש יכולת להבין או לייצג את מספר הנכנסים לבניין, או אולי הוא פשוט זוכר מי נכנס ומי יצא?
יכולות מתמטיות גבוהות יותר של מנייה והשוואה התגלו אצל קופים. גַיי ווּדרַאף (Woodruff) ודייויד פּרִמָאק (Premack) מאוניברסיטת פנסילבניה, הראו (התוצאות פורסמו בשנת 1981) לקוף שימפנזה כוס מלאה וכוס מלאה למחצה, ואימנו אותו לבחור תמיד את זו המלאה למחצה. כאשר לאחר מכן הציעו לאותו קוף לבחור בין תפוח שלם ובין חצי תפוח בחר הקוף בחצי התפוח. כלומר, הקוף הכליל את העיקרון המתמטי מכוס המים לתפוח. באופן דומה הביאו את הקוף להראות יכולות אריתמטיות פשוטות, כמו לזהות שחיבור של חצי תפוח ורבע תפוח הם שלושת רבעי תפוח. בניסוי אחר נתנו לקוף לבחור בין שני מגשים. באחד היו קוביות שוקולד מסודרות בשתי ערמות, האחת בת ארבע קוביות והשנייה בת שלוש קוביות. במגש השני קוביות השוקולד היו מסודרות בערמה של חמש קוביות ועוד קובייה בודדת. הקוף בחר, ברוב המקרים, במגש בו סכום קוביות השוקולד גבוה יותר. עדיין אין בכך עדות לתפיסה מופשטת של מספרים או של חיבור בין מספרים, אבל אלה עדויות ליכולות מתמטיות. אין הדבר מפתיע, כיוון שליכולות אלה יתרונות אבולוציוניים.
ניסוי אחר בחיות מעיד על כך שמושג המספר בצורה מופשטת אכן קיים, במובן מסוים, אצל בעלי חיים, ואפילו בין הפחות מפותחים ביניהם. ראסל צֶ'רץ (Church) ועמיתו ווֹרֶן מֶק (Meck) מאוניברסיטת בראון (המחקר פורסם בשנת 1984) ביצעו את הניסוי הבא. לא קשה לאמן חולדות לכך שכאשר הן שומעות שני צפצופים, אחד אחרי השני, מוגש להן מאכל טעים שממנו הן יכולות לשׂבוע. בדומה לכך, אם הן רואות שני הבזקי אור, אחד אחרי השני, הן יכולות לטעום מהמאכל ללא פגע. אימנו אותן גם לכך שכאשר הן שומעות ארבעה צפצופים, או רואות ארבעה הבזקי אור, מסוכן לטעום מהמאכל, כיוון שאז יבוא שוֹק חשמלי. אותות השמיעה והראייה, כלומר צפצוף או הבזק, מגיעים ומעובדים במוח דרך שני ערוצים נפרדים, ערוץ הראייה וערוץ השמיעה. החולדות הגיעו לרמה גבוהה של תגובה נכונה, כלומר, לגשת לאוכל אם שומעים שני צפצופים או רואים שני הבזקים, ולהימנע מלגשת לאוכל אם רואים ארבעה הבזקים או שומעים ארבעה צפצופים. במצב זה, כאשר החולדות מאומנות דיין, השמיעו לחולדות שני צפצופים ומייד לאחריהם הראו שני הבזקי אור. מה היתה התגובה? האם החולדות פירשו את האותות הללו כהזמנה כפולה ומחוזקת לגשת לאוכל הטעים, או פירשו את האותות כאזהרה בת ארבעה אותות מפני הסכנה בגישה לאוכל? אם התופעה השנייה היא המתרחשת, אפשר להניח כי החולדות מזהות את המספר ארבע כמושג עצמאי, גם כשהוא מורכב משני אותות מסוג אחד ושני אותות מסוג אחר. התשובה: החולדות, באופן מובהק, מזהות את המספר ארבע ונמנעות מלגשת לאוכל הטעים כאשר מספר האותות הוא ארבע, אפילו כאשר האותות מגיעים בערוצים הנפרדים.
 
הניסוי עם החולדות עדיין לא מצביע על יכולת אריתמטית אצל חיות אלו. הוא גם לא מוכיח בוודאות שהתכונה של מנייה מופשטת כזו היא תכונה מולדת, כלומר נטועה בגנים של החיה, ואינה, אולי, תוצר של אימון שהתאפשר עקב התפתחות המוח לצרכים אחרים. אבל יש מקום לשער שהיכולת הזו היא מולדת. הסיבה העיקרית לכך היא היתרון האבולוציוני שהיכולות למנות ולהכיר את מושג המספר נותנות לחיה. כדי להשתכנע מעבר לכל ספק שיכולת מסוימת היא מולדת רצוי לזהות אותה כבר בגיל צעיר מאוד. ניסויים כאלה בגורי חיות הם כמובן קשים ביותר. בגורים של בני האדם, כלומר בתינוקות, ניסויים כאלה אפשריים.
 
3. יכולת מתמטית מוּלדת במין האנושי
לפני שנציג את הראיות לכך שהיכולת המתמטית אצל בני האדם היא מוּלדת, כלומר נטועה תורשתית בגֶנים, נעיר שתי הערות לאופי הדיון. ראשית, השימוש שלנו במונח גנים, כאן ובהמשך, הוא מושגי כללי, ולא מתייחס לגנים ספציפיים כלשהם או למערך של גנים. את הזיהוי של הגנים האחראים על היכולת המתמטית נשאיר לאנשי הביולוגיה. אנחנו נסתפק בביסוס העובדה שהיכולת המתמטית היא מוּלדת. שנית, הן בדוגמאות אודות בעלי החיים והן בדיון בפרק זה, איננו דנים ביכולות של בודדים. כלומר, איננו שואלים האם ההצלחה של תלמיד מסוים במתמטיקה נקבעת על ידי הגנים שלו בלבד או היא תוצאה של תנאי הסביבה או מורים טובים יותר או טובים פחות. אנחנו שואלים מהי היכולת המתמטית של המין האנושי והקשר של יכולת זו, אם היא קיימת, לתהליך האבולוציוני, תהליך הנמשך לאורך מיליוני השנים שבהן עוצבו היכולות האלה.
נתחיל בבחינת האלמנטים המתמטיים הפשוטים ביותר, כלומר מנייה והיכולת לבצע פעולות אריתמטיות פשוטות של חיבור וחיסור. אחת מהנחות היסוד של הפסיכולוגיה הקלסית היא שתינוקות נולדים עם מוח שהאבולוציה הכינה אותו ללימוד, אבל מלכתחילה הוא ריק מכל אינפורמציה. התינוקות רוכשים את הידע שלהם על העולם בתחילה מתוך התבוננות, ולאחר מכן בשילוב של התבוננות וניסיון. למידה מופשטת יותר מופיעה מאוחר יותר, עם התפתחות השפה. מי שהחזיק בדעה זו והפיץ אותה הוא לא אחר מאשר זיגמונד פרויד (1856-1939), אבי הפסיכואנליזה. הדברים אמורים בידע בכלל, וביכולת מתמטית בפרט. ממבט ראשון אכן נראה כי לגבי אלמנטים מתמטיים האבחנה נכונה. רק בגיל שלוש, או בגיל ארבע, ילדים רוכשים את היכולת למנות, ולאחר מכן לחבר או לחסר מספרים. בתחילת הדרך הילדים רק חוזרים על הספירה ששמעו, אחת, שתיים, שלוש, וכן הלאה. למשל, נותנים להם שלושה כדורים והם יכולים למנות, אחת, שתיים, שלוש, ארבע, חמש, ולחזור בלי להניד עפעף על כדור אחד מספר פעמים. רק בגיל מאוחר יותר מתחילים הילדים להבין מהי מנייה, ומאוחר אף יותר הם מתחילים לבצע פעולות אריתמטיות פשוטות. הגדיל לחקור ולהטיף בכיווּן זה הפסיכולוג הנודע זַ'אן פְּיָאזֶ'ה (Piaget, 1896-1980), שיצר תורה התפתחותית שלמה לגבי הקנָיָה הדרגתית של יכולות מתמטיות אצל ילדים מגיל ילדוּת ועד לבגרות. באחד הניסויים שערך פיאז'ה הוא הציג לילדים שמונה פרחים, מהם שש שושנים ושתי חרציות, ושאל: מה יש יותר, פרחים או שושנים? התשובה במספר נכבד של המקרים היתה שושנים. פיאז'ה הסיק כי לילדים אין אינטואיציה לגבי הכלה של קבוצות, כלומר אין לילדים הבנה כי בין שתי קבוצות שאחת מכילה את השנייה - במקרה שלנו קבוצת הפרחים מכילה את קבוצת השושנים - הראשונה גדולה יותר. בתקופתו של פיאז'ה האמינו כי יחסים בין קבוצות הם הבסיס הנכון להבנת האריתמטיקה (קביעה שהיום פחות ופחות מקבלים אותה, ועוד נדון בכך). בהתאם לכך הסיק פיאז'ה כי לילדים קטנים אין הבנה לגבי הקשר שבין גודל קבוצות והכלה של קבוצה אחת בשנייה, ועל אחת כמה וכמה אין להם יכולות מנייה וידע של אריתמטיקה פשוטה.
אבל הקניית יכולת מנייה רק בגיל של כמה שנים אינה מעידה בהכרח כי היכולת אינה מולדת. בתצפיות שהזכרנו, כולל הניסויים שערך פיאז'ה, המנייה והאריתמטיקה באות בד בבד עם היכולת לתקשר ולהשתמש בשפה נתונה, שפת אֵם בדרך כלל. אין זה מפתיע כי תקשורת בשפה מסוימת אינה תכונה מולדת אלא היא תכונה נלמדת. היכולת ללימוד שפה היא יכולת מולדת, אבל הקניית השפה המסוימת עצמה נמשכת מספר שנים. לפני הקניית השפה, היכולות האריתמטיות של הילד, כפי שניסו לאתרן בניסויים שתיארנו, אינן באות לידי ביטוי. המכשול אינו בחוסר היכולת של הילדים למנות אלא בעובדה שהם מתבקשים לענות על שאלות שכדי לקלוט אותן ולהבין מה התשובה המצופה להן דרוש אימון של שנים. הנה דוגמה למבחן שמראה כי להבנת השאלה תפקיד חשוב בפרשנות של המימצאים.
 

 
מראים לילדים בגיל שבין שנתיים ושלוש ארבע גולות ולידן ארבעה כפתורים, ושואלים מה יש יותר, גולות או כפתורים. רוב הילדים יאמרו שיש אותו מספר של גולות וכפתורים. אז מרַווחים את המרחקים בין הכפתורים ושוב שואלים מה יש יותר, גולות או כפתורים? רוב הילדים הקטנים יאמרו שהמספר זהה. כאשר חוזרים על התרגיל עם ילדים בוגרים יותר, בני ארבע וחמש, רבים מהם יאמרו כי יש יותר כפתורים. אין הדבר מצביע על ירידה בכושר המתמטי. ההסבר הנכון הוא כי הילדים הגדולים יותר אינם רגילים שמַפנים אליהם אותה שאלה טריוויאלית יותר מפעם אחת. לכן הם מסיקים כי השואל מצפה לתשובה אחרת, ומשערים כי השאלה מכוּונת לגודל של המִרוָוחים ולא למספר הכפתורים, ובהתאם לכך הם עונים.
יש ראיות ברורות לכך שכבר בגיל צעיר מאוד יש לתינוקות התייחסות למספרים ואף יכולת לבצע תרגילים פשוטים של חיבור וחיסור. איך בודקים יכולות קוגניטיביות כאלה אצל תינוקות בני כמה חודשים? יש כמה פרמטרים שלפיהם אפשר לראות האם תינוק מתרגש, או מופתע. אחד הפרמטרים הוא משך הזמן שבו התינוק בוחן מוצג מסוים. תינוק מתעכב במבטו מספר שניות על מצב או על מוצג מסוים ואז מסיט את המבט. כאשר המוצג חדש או מפתיע - ואצל תינוק בן כמה חודשים חדש הוא מפתיע - הוא מתעכב מספר גדול יותר של שניות. פרמטר שני הוא קצב המציצה. כאשר תינוק מתרגש או מופתע הוא מגביר את קצב ועוצמת המציצה שלו.
ניסוי שהתבצע על ידי רַנקָה בּיֵילְיאק־בּבִּיץ (Bijeljac-Babic) ועמיתים שלה בפריז (התוצאות פורסמו בשנת 1991), הראה כי אפילו לתינוקות בני יומם יש תחושה למספרים. מדדו את מהירות המציצה של תינוקות כאשר השמיעו להם מילים חסרות משמעות שכולן בנות שלוש הברות, למשל פִּיקָדֶן, אַלוֹבּוּ, קַמְקָמֶן. בתחילת הניסוי השמעת המילים הביאה למציצה חזקה יותר, עד שהתינוקות התרגלו לקולות והמשיכו במציצה רגילה. אז עברו להשמעת מילים בנות שתי הברות. כתוצאה מכך הורגשה מציצה חזקה יותר. וכך הלאה, כל פעם שעברו לסידרת מילים עם מספר הברות שונה נחזה שינוי בתגובת התינוקות. כלומר, כבר בגיל רך שכזה התינוקות יכולים לזהות כי מלה מורכבת מהברות והם מגיבים לשינוי במספר ההברות. בחירת ההברות במילים היתה אקראית מספיק כדי לבטל את המשמעות, שלא היתה, למילים עצמן, כך שההסבר היחיד הוא מספר ההברות.
ניסוי מורכב יותר, שנערך במעבדתו של פרֶנטיס סְטָרקִי (Starkey) מהאוניברסיטה של פנסילבניה (התוצאות פורסמו בשנת 1980), הראה שהאבחנה בין מספרים לא מוגבלת לערוץ תקשורת יחיד. הראו לתינוקות בני שישה חודשים זוגות של תמונות ובהן או שני עצמים או שלושה, נאמר שניים משמאל ושלושה מימין. בכל פעם הראו תמונות אחרות, לפעמים רק צורות גיאומטריות, לפעמים נקודות, כל פעם בצבעים אחרים, כל זאת כדי לבטל את ההשפעה האפשרית של התוכן שבתמונות. במקביל השמיעו צלילים, פעם שניים, פעם שלושה, באופן אקראי מספיק כדי לבטל תבנית כלשהי שסדר השמעת הצלילים יכול היה להביע. באופן מובהק, כאשר השמיעו שלושה צלילים העדיפו התינוקות להסתכל לעבר המסך עם שלוש הדמויות, וכאשר השמיעו שני צלילים הם העדיפו להביט לעבר המסך עם שתי הדמויות. התינוקות הפגינו פעולה של ספירה, או לפחות השוואת כמויות, משני ערוצי תקשורת שונים - הראייה והשמיעה.
ניסוי מתוחכם אחר שנערך על ידי קַרֶן וֵיין (Wynn) מאוניברסיטת יֵיל (התוצאות פורסמו בשנת 1992) הראה כי לתינוקות חוש טבעי לחיבור וחיסור. הניחו לפני תינוקות בני כמה חודשים מסך והראו להם איך דמות נכנסת מאחורי המסך. אחר כך הרימו את המסך וחשפו את הדמות. בפעם נוספת דמות הוכנסה, אחריה עוד דמות הוכנסה, אז הרימו את המסך וראו שתי דמויות; וכך הלאה, עד שהתינוק מתרגל לנעשה. אז מבצעים תרגיל עם אריתמטיקה לא נכונה. נכנסת דמות, אחריה עוד אחת, מרימים את המסך ורואים רק דמות אחת. באופן מובהק הראו התינוקות בני כמה החודשים סימני הפתעה. הם ציפו לשתי דמויות, והנה רק אחת. חזרו על הניסוי בווריאציות שונות כדי לבטל אפשרות שהתינוקות פשוט התרגלו לתוצאה של תרגיל מסוים. באופן מובהק, תוצאות שאינן נכונות מבחינה מתמטית זכו לתשומת לב גבוהה. יותר מאוחר הצליחו לבצע סוג כזה של ניסוי עם קופי רֶסוס בוגרים. גם הם הראו סימני הפתעה, למשל כאשר הוכנסו שתי בננות, האחת לאחר השנייה, לתיבה סגורה וכאשר נפתחה התיבה נמצאה בה רק בננה אחת.
ניסויים אלו נעשו בקפידה, ואפשר להסיק מהם כי השורשים של היכולות האריתמטיות של המין האנושי הם גנטיים. כמובן, פעולות אלו נעשות במוח הלא מפותח ולא בשפה מסוימת, ולכן אין אפשרות לתינוק לשוחח על התוצאות עם הוריו או עם חבריו. כאשר יגדל הילד יהיה עליו ללמוד להביע את היכולות המתמטיות בשפת הדיבור שלו ושל הוריו. לימוד זה הוא תהליך בפני עצמו. אך האריתמטיקה הפשוטה טבועה אצל תינוקות ואינה תוצר לוואי של מוח שהתפתח למטרות אחרות לגמרי. מכאן גם אפשר להסיק שאריתמטיקה פשוטה נתנה יתרון בתחרות האבולוציונית. אין זו עובדה מפתיעה. לבעל חיים המתחרה על מקורות מחיה יהוו היכולות המתמטיות להבדיל בין גדול לקטן, בין הרבה למעט, ואפילו לחבר ולחסר, יתרון במאבק האבולוציוני. פרט כזה יתאים יותר לסביבה התחרותית מאשר בני מינו שהיכולת האריתמטית שלהם נמוכה יותר.
איך מתיישבת אבחנה זו עם מימצא, מבוסס גם הוא, ולפיו שבטים פרימיטיביים, גם כאלה שהתגלו במקומות נידחים עד לא מכבר, משתמשים רק במספרים אחת, שתיים, שלוש כדי לתאר את סביבתם, ולכמויות גדולות יותר ניתן אז התואר "הרבה"? אם בעלי חיים כמו ציפורים או חולדות יודעים להבחין בין מספרים גדולים משלוש, הרי מצופה מבני אדם שיֵדעו ויספרו טוב יותר. התשובה פשוטה: השפה התפתחה אצל המין האנושי מאוחר הרבה יותר והדגישה את החשוב על פני הפחות חשוב. אותם שבטים פרימיטיביים מבחינים כנראה היטב בין אוספים בני חמישה או שישה עצמים, אך השפה שלהם אינה עשירה מספיק כדי לתאר אותם, כי לא נוצר אצלם הצורך לייחד מונחים למספרים גדולים משלוש. אין הדבר סותר את העובדה כי ברמה האינטואיטיבית היכולת האריתמטית שלהם גדולה הרבה יותר. ככל שמתפתחת השפה מתפתחות גם יכולות לבטא ולבצע פעולות אריתמטיות נרחבות יותר. השפה התפתחה מאוחר יחסית לתהליך האבולוציוני הכללי, אך גם היא חלק מתהליך האבולוציה. המוח האנושי מיוחד, בין בעלי החיים, ביכולות הקומוניקציה הלשונית. עדות עקיפה לכך שגם אריתמטיקה, מנייה ויכולות של חיבור וחיסור, למשל, הן תוצר ישיר של האבולוציה ולא רק תוצר נלווה לשפה, אפשר למצוא במקרים מתועדים שבהם נולדו בני אדם עם שיבוש מוחי שהתבטא בחוסר היכולת למנות, לחבר ולחסר, בעוד שאר היכולות הלשוניות נשארו תקינות לחלוטין. ולהיפך, ישנם אנשים שהיכולת הלשונית שלהם פגומה, אך הם מסוגלים לבצע פעולות אריתמטיות בקלות רבה.
ראוי לציין כי טכניקות דומות למחקרים על השורשים האבולוציוניים של המתמטיקה אפשר ליישם כדי לגלות יכולות ותכונות ששורשיהן אבולוציוניים ושאינן קשורות במתמטיקה. רק לאחרונה (בשנת 2010) התפרסמה עבודת מחקר של החוקרת קרן ויין מאוניברסיטת ייל, שאותה הזכרנו קודם לכן, עם בן זוגה פּוֹל בְּלוּם, שהראתה כי אלטרואיזם ושאיפה לצדק נמצאים כבר אצל תינוקות בני כמה חודשים, בגיל שסביר כי עדיין לא ספגו תכונות אלה מן הסביבה. אין הדבר מפתיע. העדפה של חלוקה צודקת של משאבים היא תכונה שעוזרת לקבוצה לשרוד במאבק האבולוציוני, ולכן סביר כי תהיה טבועה במין האנושי כבר ברמה הגנטית.
 
4. מתמטיקה הנותנת יתרון אבולוציוני
למתמטיקה פנים רבות. בפרק הקודם הראינו שהבנת אריתמטיקה של מספרים היא תולדה אבולוציונית. בפרק זה נצביע על ענפים אחרים של הפעילות המתמטית שאפשר לשער כי היה להם יתרון במאבק האבולוציוני. נציג ראיות לכך שגם ענפים אלה נטמעו במטען הגנטי. נוכל להתייחס למתמטיקה כזו כאל מתמטיקה טבעית. ובפרק הבא נצביע על פעילות מתמטית שאינה טבעית, כי לא היה לה יתרון אבולוציוני בתקופה שבה התגבש הגנום האנושי.
מתקבל על הדעת שלהיכרות עם אלמנטים גיאומטריים היה יתרון אבולוציוני. כיוון שלמקורות מזון או מים יש צורות גיאומטריות אופייניות, הרי לזיהוי אמין של צורות כאלה יש יתרון במאבק על מקורות מחיה. אבל האם ישנן ראיות לכך שכתוצאה מן האבולוציה זיהוי צורות גיאומטריות טבוע בגנים?
נציג קודם כול את המלבן המפורסם עם חתך הזהב, או יחס הזהב.
 

 
המדובר הוא במלבן שהיחס בין צלעו הגדולה וצלעו הקטנה הוא כזה שאם נסיר ממנו ריבוע שצלעו כאורך הצלע הקטנה, נישאר עם מלבן (זה העומד באיור במאונך) עם אותו יחס בין צלעותיו. נעיר - אם כי אין הדבר רלבנטי לסיפורנו - שלא קשה לחשב את הערך המספרי של יחס הזהב (ודילוג על החישוב שלהלן לא יפגע בהבנה בהמשך).
 
◄ אם נסמן באות a את אורך המלבן ובאות b את רוחבו, השוויון ביחסים מתבטא אז במשוואה  אם נסמן באות x את היחס  המבוקש, הנעלם x מקיים את המשוואה הריבועית  שפיתרונה (לשם כך צריך להיזכר בנוסחה מימי התיכון) הוא  זהו חתך הזהב, שקירוב עשרוני שלו הוא 1.6180.
 
היחס הזה מתגלה בהרבה מופעים ותהליכים בטבע, ותכונות שונות שלו היו ידועות כבר בימי קדם. היחס זוהה גם בארכיטקטורה העתיקה. למשל, מידותיו של מבנה הפַּרְתֶנוֹן באתונה מתאימות בצורה מדהימה למידות המוכתבות על ידי יחס הזהב. היחס חבוי גם בציוריו של ליאונרדו דה וינצ'י, שגם התייחס אליו בכתביו המתמטיים, אם כי הוא לא ציין במפורש כי אכן השתמש ביחס הזהב.
בעקבות הזיהוי של יחס הזהב במופעים השונים ולפעמים הבלתי צפויים בטבע, ייחסו לו הקדמונים תכונות פלא מיסטיות, ואף כינו אותו היחס האלוהי. שנים רבות התנהל, ועדיין מתנהל, דיון בקרב ההיסטוריונים ובקרב אנשי האמנות ביחס לשאלה האם אכן השתמשו הבנאים והאמנים בדורות הקודמים ביחס הזהב בארכיטקטורה ובאמנות שלהם במודע, או אולי המופע של יחס זה הוא תדיר כי הוא פשוט היה נעים לעין. לא ניכנס כאן לוויכוח הבלתי מוכרע הזה, אך נעיר כי אכן יחס זה נעים לעין. הדבר הוכח בעשרות מחקרים אמפיריים, לרבות מחקרים שהראו כי תינוקות צעירים לימים מגיבים בהנאה וברגיעה למראה מלבן עם יחס הזהב לעומת תגובותיהם לצורות גיאומטריות אחרות, לרבות מלבנים עם יחסים שונים מיחס הזהב במידה רבה.
התופעה הזו דורשת הסבר. אנחנו רגילים לכך שנעימוּת של ציור או צורה בעיני אדם מבוגר תלויים במידה רבה בהתרגלות ובחינוך. לדוגמה, היחס לאמנות המודרנית היה כמעט עוין בתחילתה, והשתנה במשך השנים, כאשר הקהל הרחב התרגל אליה יותר ויותר. תינוקות בני יומם עדיין לא הספיקו להתרגל לצורה זו או אחרת. מהיכן העדפתם את יחס הזהב? ההסבר: אבולוציה. תבחנו את מידות הראש האנושי ותמצאו כי הן קרובות פחות או יותר ליחס הזהב. באותה מידה, יחסים חלקיים בתוך הפנים האנושיות, כמו היחס בין הרוחב והגובה של העיניים, בין הגובה והרוחב של האוזן, גם הם קרובים ליחס הזהב. לכן ברור מהו היתרון האבולוציוני שיש לתינוק המזהה ושמח לגלות דמות עם יחס זה. תינוקות שיגלו רגיעה למראה אמא המתקרבת אליהם לעומת הפגנה של אי־נוחות עד כדי קריאה לעזרה למראה ציפור טרף קרבה, הם בעלי סיכויי הישרדות גבוהים יותר. לכן סביר שההרגשה הנוחה יותר עם צורות מלבניות עם יחסים דומים ליחס הזהב נטועה בגנים של האדם. אין לתופעה דבר וחצי דבר עם יחס הזהב עצמו. יתר על כן, מחקרים מראים כי תינוקות מרגישים בנוח גם עם צורה של כף יד, וגם לכך הסיבה האבולוציונית ברורה. האבולוציה מתגמלת תינוק המגיב בחוסר נחת אם מחזיק אותו טורף לעומת המקרה שבו הוא מוחזק בידי יד אדם. אני הייתי מנחש כי אילו אפשר היה לבצע מחקרים דומים אצל ציפורים, היינו מגלים כי בין הצורות הגיאומטריות, הצורה הנעימה לעין הגוזל היא משולש עם זווית חדה.
עדיין אפשר לתהות, אולי למד התינוק להרגיש נוח עם יחסים דומים ליחס הזהב רק בשבועות הראשונים אחרי שנולד. התשובה לכך היא ההפגנה של פחד ואי־נוחות של ילדים מול צורות מסוימות. פסיכולוגים טוענים שכעשירית מהילדים פוחדים פחד קמאי מליצנים. לאחרונה קנה לו ביסוס עיסוק הנקרא ליצן רפואי, שכרוך בפעילות ליצנית המקלה על ילדים הנזקקים לטיפול בבתי חולים. אלא שגם דוּוח על מקרים שבהם הליצן הרפואי רק הזיק, ומצבם של הילדים המבועתים מן הפגישה עימו רק החמיר. גם תופעה זו קשורה לגיאומטריה, ושורשיה אבולוציוניים: מראה של ליצן על כל צבעיו הססגוניים והגיאומטריה הלא אנושית של גפיו וראשו, מכניס לפעולה אותם גֶנים שמביאים תינוקות לקרוא לעזרת הוריהם כאשר ציפור או נמר ססגוניים מתקרבים. לא הגיוני שבעולם המודרני תינוקות "ילמדו" לפחד מליצנים. תכונות מוּלדות אלה הן התחלה של אבחנה גיאומטרית. (גם בהמשך נשתמש לעיתים במטאפורה הפשטנית אך מאירת העיניים של עימות עם נמר.)
 
יכולת בסיסית נוספת במתמטיקה, יכולת שקרוב לוודאי שיחקה תפקיד במאבק האבולוציוני, היא היכולת לזהות חוקיות, דפוסי פעולה, תבניות (patterns). אינני מכיר ניסויים מבוקרים המראים כי הנטייה והיכולת לזהות חוקיות נטועה בגנים, אך דמיינו לעצמכם אדם קדמון, ודמיינו שוב נמר המתגנב אליו בדשא ומשאיר שביל כבוש. היכולת לזהות את השביל כמקור של סכנה יכולה להציל חיים. היכולת לזהות תבניות טבועה גם בחושים אחרים, כמו שמיעה. די לשמוע כמה תווים כדי לזהות תבנית, ואף מנגינה שלמה. כיוון שזיהוי תבניות הוא תכונה העוזרת במאבק ההישרדות, הפרטים בעלי היכולת הזו העמידו צאצאים רבים יותר מאשר אלה החסרים את יכולת הזיהוי של תבניות. לכן, קרוב לוודאי שהנטייה לזהות תבניות נטועה בגנים שלנו. הנזק בזיהוי תבנית בְּמָקום שאינה קיימת קטן מאשר אי־זיהוי תבנית קיימת. לכן הנטייה האבולוציונית לזהות תבניות מביאה גם לזיהוי של תבניות לכאורה, כולל זיהוי שגוי של תבניות כאשר אינן בנמצא כלל. כדוגמה לזיהוי שגוי נזכיר כאן את החיבור ששמו הצופן התנ"כי. על ידי בניית משפטים ממילים הנבחרות על ידי דילוגים במִרווחים שווים בטקסט התנכי אפשר, לכאורה, להראות כי רבים מהמאורעות בעת החדשה נחזו בטקסט העתיק. בדיקות סטטיסטיות זהירות הראו כי אין בתבניות אלה כל ממש. אך אצל מגלי הצופן, הנטייה לחפש תבנית גברה על הזהירות המדעית. נפגוש בפרקים הבאים טעויות מנטליות אחרות הנובעות מאיתור תבניות במקום שאינן.
חלק נכבד של המתמטיקה, הן במחקר המתמטי והן בלימודי מתמטיקה בשלביה השונים, מתרכז בזיהוי של תבניות בסדרות. הנה מספר תרגילים פשוטים:
המשך את הסידרה
2, 4, 6, 8, 10, ...
כבר בגיל צעיר יחסית יזהו ילדים כי מדובר בסידרת המספרים הזוגיים ויציינו את המספרים 12, 14 כמספרים הבאים בסידרה. לזיהוי הסידרה הבאה צריך ידע רב יותר,
1, 4, 9, 16, 25, 36, ...
אך לא קשה לראות כי מדובר במספרים שהם ריבועים של המספרים 1, 2, 3, 4, 5, 6, ולכן המספרים הבאים בסידרה יהיו 49, 64. ראוי לציין ולהדגיש כי אין הכרח להמשיך את הסדרות כפי שהצענו, כלומר, ההמשכים הללו אינם נובעים מהכרח לוגי. יתר על כן, הפיתרונות הם תלויי תרבות. הנה תרגיל שמיוחס למתמטיקאי וההיסטוריון של המתמטיקה מוריס קליין (Kline). המשך את הסידרה
4, 14, 23, 34, 42, 50, 59, ...
התשובה: 72. המספרים מציינים את מספרי הרחובות שבהם עוצרת הרכבת התחתית C במנהטן שבעיר ניו יורק, והתחנה הבאה נמצאת ברחוב 72. אני משער כי אם התרגיל היה מופנה לנוסעי הרכבת התחתית בניו יורק היו רבים מהם עונים 72. אני נמנע מלהשתמש בניסוח "עונים נכון" כי אין כאן עניין של נכון או לא נכון. התשובה נכונה אם היא קולעת למחשבתו של שואל השאלה. אבל קל לראות כי למין האנושי יש אינטואיציה מלידה להמשיך סדרות כאלה באופן הגיוני ולקלוע לדעת השואל. בחלק האחרון של החיבור נדון בהקשר שבו הוצג התרגיל על ידי מוריס קליין.
כמובן, צריך שלא להגזים. ידוע הסיפור על המטוס עם ארבעה מנועים בדרך בין ניו יורק ללונדון. לאחר שעת טיסה, הטייס מודיע כי מנוע אחד מהארבעה הפסיק לעבוד אבל לא נורא, הטיסה תיקח תשע שעות במקום שש. אחרי מספר דקות הוא מודיע שעוד מנוע התקלקל אבל לא נורא, נגיע ליעד אחרי 12 שעות טיסה. עוד זמן מה עובר והטייס מודיע כי מנוע שלישי הפסיק לעבוד אבל לא נורא, הטיסה תגיע אחרי 15 שעות. מתפרץ נוסע ושואל: האם יש במטוס אוכל ושתייה ל־18 שעות למקרה שגם המנוע הרביעי יתקלקל (מעניין מה יענו תלמידים אם יבקשו מהם להשלים את הסידרה במסגרת תרגיל במתמטיקה).
לחלק מן ההמשכים ההגיוניים, אף כי אין בהם הכרח לוגי, יש נגיעה ישירה לתופעות טבעיות. לדוגמה, נבחן את הסידרה:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
החל מהמספר השלישי, כל מספר בסידרה הוא הסכום של שני הקודמים לו. לכן המספר הבא בסידרה יהיה 34 ולאחריו 55 וכך הלאה. זו סידרת פִיבּוֹנָצִ'י (Fibonacci) הקרויה על שמו של המתמטיקאי האיטלקי ליאונרדו פיבונצ'י או ליאונרדו מפיזה (1170-1250), מי שסִפרוֹ משנת 1202 כלל פיתוח נרחב לתכונות מתמטיות של סידרה זו. הסידרה משקפת תופעות רבות של התפתחות וגידול בטבע, לצד תכונות מתמטיות מעניינות כשלעצמן. נציג שימוש אחד לסידרה:
ישנם עצים, ביניהם למשל סוגי מַנְגְרוֹבים, המתרבים על ידי כך שאחד מענפיהם נקלט באדמה ומצמיח גזע חדש. אך צריכה לעבור שנה עד שהצמח הצעיר יכול לשלוח אחד מענפיו כדי שיצמיח בעצמו גזע חדש. נניח כי שותלים באדמה צמח צעיר. לאחר שנה עדיין יהיה לנו גזע אחד, אבל לאחר שנתיים יצמיח זה גזע חדש ויהיו לנו שני צמחים. זו תחילת הסידרה, 1, 1, 2. בשנה שלאחר מכן יצמיח רק העץ הראשון גזע חדש כך שבשנה הרביעית יהיו שלושה עצים. שנה אחר כך יצמיחו שני העצים הוותיקים גזע חדש ויהיו לנו 5=2+3 עצים, והסידרה היא כבר 1, 1, 2, 3, 5. וכך הלאה, כל שנה מספר הגזעים המתווסף הוא כמספר העצים הוותיקים, והסידרה המתארת את מספרם היא סידרת פיבונצ'י. לא נרחיב כאן את היריעה מעבר לדוגמה, ורק נזכיר כי לסידרה יש התכונה שאם מחלקים מספר מהסידרה בזה שמופיע לפניו, הרי ככל שמתקדמים בסידרה מתקרבים ליחס הזהב, שכבר הכרנו. זו עוד עובדה ששכנעה את הקדמונים כי מדובר ביחס אלוהי. העובדה כי לסדרות שאת הֶמשכן אפשר לגלות באופן אינטואיטיבי יש פירושים, או הדגמות, בתופעות טבע, חיזקה כנראה במשך הדורות את הנטייה לפתח את התכונה של זיהוי תבניות.
 
נסכם את האבחנות בפרק זה ובזה שלפניו בכך שנאמר כי ניתן להראות ולהדגים בניסויים יכולות מתמטיות שבמשך מאות אלפי שנות אבולוציה היה בהן יתרון במאבק ההישרדות האבולוציוני. תהליכי המוטציה והסלקציה שבהם עיצבה האבולוציה את המין האנושי גרמו להטמעת יכולות אלה בגנים של האדם.
 
5. מתמטיקה ללא יתרון אבולוציוני
בפרק זה נבחן כמה היבטים של המתמטיקה שכנראה אינם טבועים בגנים שלנו, כיוון שלא נשאו עימם יתרון אבולוציוני. הדיון הנוכחי יהיה ספקולטיבי, אך מאוחר יותר נציג ראיות המאששות את האבחנות שנצביע עליהן כאן. עוד נדגיש כי העדר היתרון האבולוציוני שאליו אנו מתייחסים הוא בתקופה שבה התפתחו הגנים המעצבים את המין האנושי. זו הסיבה לכך שהמתמטיקה מהסוג שנצביע עליו אינה טבעית לחשיבה האינטואיטיבית. אין הדבר אומר כי המתמטיקה הזו אינה חשובה, או אינה מועילה. ההיפך הוא הנכון. ליכולות המתמטיות האלה היה יתרון גדול באבולוציה המאוחרת יותר של חברות אנושיות, אלא שזו אבולוציה מאוחרת, והזמן שעבר מאז החלה ההתפתחות של חברות אנושיות לא הספיק כדי להטמיע את היכולות הללו בגנים.
השפה המתמטית משתמשת במידה רבה בכַּמָּתִים (quantifiers). אלה ביטויים כמו "לכל", או "קיים", המופיעים בטיעונים מתמטיים. למשל, משפט פיתגורס המפורסם, שהוכח כבר לפני כאלפיים וחמש מאות שנה, אומר כי לכל משולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר. הדגש הוא על הכַּמָּת "לכל". טענה שימושית אחרת אומרת כי כל מספר שלם וחיובי הוא מכפלה של מספרים ראשוניים, וכיוצא בכך. דוגמה מפורסמת מהזמן האחרון הוא המשפט האחרון של פֶרמָה (Fermat's Last Theorem) שההשערה כי הוא אמיתי נוסחה כבר במאה השבע־עשרה אך ההוכחה שלו הושלמה על ידי המתמטיקאי הבריטי אַנדְרִיוּ וַוילס (Wiles), מאוניברסיטת פרינסטון, רק בשנת 1995. המשפט אומר כי לכל ארבעה מספרים טבעיים (כלומר מספרים שלמים וחיוביים) X, Y, Z ו־n, אם n גדול או שווה ל־3 הסכום Xn+Yn אינו יכול להיות שווה ל־Zn. באלפי שנות התפתחותה של המתמטיקה המודרנית, ההוכחה כי תכונה מסוימת קיימת תמיד, נחשבה להישג.
אך האם בדיקה כי תופעה מסוימת נכונה תמיד היא טבעית? האם כאשר תופעה חוזרת על עצמה בתנאים מסוימים, גם עולה באופן טבעי השאלה האם התופעה מתרחשת בכל פעם שהתנאים מתקיימים? לא כך הדבר. אם הניסיון מעלה כי נמר הוא חיה טורפת, המסקנה היא שכאשר פוגשים נמר ראוי לברוח או להסתתר. איבוד אנרגיה או זמן במחשבות מופשטות כמו האם תמיד הנמר המסוים יטרוף, לא נותן יתרון אבולוציוני, שלא לדבר על החיסרון האבולוציוני הכרוך בבדיקה של השאלה האם כל נמר טורף.
 
התייחסות שגורה נוספת במתמטיקה היא למושג האינסוף. "ישנם אינסוף מספרים ראשוניים", הוכיחו היוונים. האם השאיפה להוכיח עובדה כזו היא טבעית? האם כאשר מזהים עצמים רבים, סביר לשאול האם יש אינסוף כאלה? שוב, נראה לי שלא. נדמיין את האדם הקדמון מגלה כי אזור מסוים שורץ נמרים מסוכנים. האם כדאי לו לדון בשאלה האם יש אינסוף מהם, או אולי רצוי שיישא רגליו מהאזור מהר ככל האפשר? השאלה "האם יש אינסוף נמרים?", או אפילו השאלה "האם יש הרבה יותר נמרים מן המספר הגדול והמסוכן שאני כבר זיהיתי?" הן שאלות "אקדמיות". מי שיקדיש להן זמן ואנרגיה ייפגע, ויחבל בסיכויים של עצמו לנצח בתחרות האבולוציונית.
 
צורת טיעון אחרת שהמתמטיקה פיתחה מתבטאת בהתייחסות לעובדות שאינן יכולות להתקיים. טענה מן הצורה "אם לא יקרה א אז יקרה ב" היא לחם חוק של מורים, תלמידים וחוקרים במתמטיקה. נפגוש דוגמאות כאלה למכביר בהמשך. גם צורת מחשבה זו אינה טבעית. פעולת המוח האנושי בנויה על אסוציאציות, על זיכרון של דברים שהתקיימו. להיתלות במאורע שלא התקיים היא פעולה אפשרית ומועילה, אלא שהיא לא באה בקלות ובאופן אינטואיטיבי. כשאתה נכנס לחדר אתה סוקר מה יש בו ופחות מקדיש מחשבה למה שאין בו. נחזור ונאמר כי אין אנו טוענים שלחפש אחר אינסוף עצמים מתמטיים, או להוכיח כי תכונה מסוימת נכונה תמיד, או להתייחס לשלילה של אפשרות, הן פעולות שאינן ראויות, או אינן חשובות, או אינן מעניינות. כל מה שאנו אומרים הוא כי אלה פעולות שאינן טבעיות, וכי ללא מסגרת מתמטית המציעה את האפשרויות הללו, לא יגיע אדם סביר, או תלמיד שלא אומן לכך, לשאול את השאלות הללו רק מתוך בסיס אינטואיטיבי.
 
תכונה אחרת שאינה נטועה בטבע האדם היא הדרישה לקפדנות ולדקדקנות. המתמטיקה מתגאה בכך שהוכחה מתמטית, אם רק לא נפלה בה שגיאה, היא בגדר אמת מוחלטת. לפיכך פיתחה המתמטיקה טכניקות של בדיקה קפדנית שאמורות להביא לאותה אמת מוחלטת. גישה כזו אינה יכולה לנבוע מהאבולוציה. אין גֶנים המכַוונים את התנהלות בני האדם לקפדנות שמסלקת כל ספק. הדגָמָה משכנעת לכך טמונה במעשייה הבאה:
מתמטיקאי, פיזיקאי וביולוג יושבים על גבעה באירלנד וצופים בנוף. ממול עוברות להן שתי כבשים שחורות. הביולוג אומר: תראו, הכבשים באירלנד שחורות. מתקן הפיזיקאי: לא, יש באירלנד כבשים שחורות. ממש לא, אומר המתמטיקאי, יש באירלנד כבשים שהן שחורות לפחות מצד אחד.
האם האבחנה של המתמטיקאי, קפדנית ונכונה ככל שתהיה, היא סבירה בשימוש יומיומי? כמובן לא. במובן זה החיים הם לא מתמטיקה. בחיים, אפילו בחיים הקדמוניים, כדאי ורצוי לאפשר חוסר קפדנות, ואפילו לאפשר טעויות, כדי להשיג יעילות. אם ראש של נמר מציץ מעבר לשיחים אַל לו לאדם לדקדק ולומר "לא הוכחנו כי לנמר המסוים הזה יש רגליים", אלא רצוי שיישא את רגליו הוא מהמקום, מהר ככל שיוכל.
 
חזרנו וטענו כי השימוש בכַּמָּתים וההתייחסות לשלילה של טענה לא נטמעו במוח האדם במהלך האבולוציה ואינם אינטואיטיביים. ראיה עקיפה לטענה זו אפשר למצוא גם במחקרים שבדקו כמה פעולות מתמטיות יכול מוח האדם לעבד בזו אחר זו. פעולות של חיבור, חיסור, וכדומה, יכול המוח לבצע בסידרה כמעט ללא הגבלה. אפשר לבקש מאדם להכפיל, להוסיף, לחלק, וכך הלאה, בסידרה ארוכה של פעולות, ואם רק יזכור את הסדר, למשל אם ימצא תבנית לפיה הפעולות צריכות להתבצע, יוכל להכיל את ההוראות ולפתח אינטואיציה לגבי התוצאה. לא כן הדבר לגבי כמתים ושלילה. הפסוק "לכל כלב יש קולר שאינו ירוק" משתמש בשלושה סימנים לוגיים: לכל, יש, אין. מחקרים הראו שאפילו אם האדם זוכר את סדר הפעולות, המקסימום שהמוח יכול להכיל הוא שבעה כמתים. מעבר לכך אין האדם המוכשר ביותר יכול להעריך את תוצאת הפעולה. מעניין כי החסם למספר הפעולות הלוגיות הוא שבע, והוא זהה למה שכבר ראינו - החסם לַמספר שבעלי החיים מסוגלים לזהותו. ראָיה בלתי ישירה אחרת לקושי בהתייחסות לכמתים משתקפת במציאותם של יחידי סגולה, חלקם אוטיסטים או חולי תסמונת אַספֶּרגֶר, המסוגלים לבצע פעולות אריתמטיות מסובכות במהירות ובדיוק מדהימים. אין בנמצא כאלה המסוגלים לבצע פעולות לוגיות מסובכות. הסיבה היא, כנראה, שיכולות אריתמטיות חישוביות נמצאות במוח באופן טבעי, והן מתחזקות באופן לא טבעי ולא פרופורציוני אצל אנשים שמגבלותיהם לא מאפשרות להם לפתח יכולות אחרות. ולוגיקה לא נמנית בין היכולות המוקצנות האלה.
מדוע ראוי וחשוב לזהות יכולות מתמטיות הטבועות בנו מכוח האבולוציה, ולאתר תכונות אחרות שאינן כאלה? בני האדם חושבים בצורה אינטואיטיבית, בצורה אסוציאטיבית, וקל ואפשר לפתח אינטואיציה הנסמכת על יכולות טבעיות. יכולות הנמצאות כבר בגנים קל יותר לפתח, לטפח, ולהשתמש בהן. קשה יותר לעשות זאת לגבי יכולות שאינן טבעיות למין האנושי. להכרה שיש הבדל בין סוגי הפעולות המתמטיות הללו, ולהבנה של שורשי ההבדל הזה, יש תפקיד חשוב בהבנה ובניצול של החשיבה האנושית. בהמשך נראה את המשמעויות השונות של הבדלים אלה בהתפתחות המתמטיקה, ובפרק האחרון נצביע על ההשלכות של הכרת ההבדלים הללו על לימוד מתמטיקה.
 
6. המתמטיקה בממלכות הראשונות
בפרק זה נעיין במתמטיקה שהתפתחה בממלכות הבבלית, האשורית והמצרית. נעיף גם מבט על המתמטיקה שהתפתחה, באופן בלתי תלוי ומעט מאוחר יותר, בממלכה הסינית. למרות שהסקירה אינה ממצה את המתמטיקה שנוצרה בממלכות הללו, היא משקפת נכונה את סוג המתמטיקה שהתפתחה. בפרט, נראה כי ההתפתחויות עוקבות בצורה ברורה אחר מה שקראנו לו היתרון האבולוציוני. היבטים אלה של המתמטיקה לא רק שהקנו יתרון לאדם על בעלי החיים האחרים, הם העניקו יתרונות לחברה שפיתחה את המתמטיקה הזו על פני חברות אחרות. החברות השולטות הן אלה שפיתחו את המתמטיקה העדכנית ביותר והשתמשו בה כדי להרחיב ולבסס את שלטונן.
התייחסות למספרים ולאריתמטיקה היתה קיימת עוד בתקופה קודמת לממלכות בבל ומצרים. אין ראיות ישירות על מקומה ורמתה של מתמטיקה זו. בהסתמך על אותם שבטים נידחים שאותרו במאות האחרונות ואשר שפתם הכילה התייחסות רק למספרים 1, 2, 3, ולמונח הרבה, אפשר לשער כי המתמטיקה שהשתמשו בה היתה מינימלית. מצד שני, בשנת 1960 התגלו בקונגו הבלגית עצמות המתוארכות לעשרים אלף שנה לפני הספירה, ועליהן סימונים שלדעת הארכיאולוגים והאנתרופולוגים מבטאים פעולות ספירה עד למספר עשרים ויותר. ניתן לכן להסיק כי בימים שהאדם חי והתפתח בקבוצות קטנות, נדד והתקיים בעיקר מצַיִד, הוא פיתח מתמטיקה פשוטה מן הסוג שהצבענו עליו בפרקים הקודמים כבעל יתרון אבולוציוני.
 
הממלכה הבבלית היתה אדירה, בוודאי במושגי הימים ההם. תחילתה מתוארכת לסביבות 4700 לפני הספירה. תרבותה התבססה על התרבות השוּמֶרית. מאוחר יותר השתלטה התרבות האַכַּדית על האזור והביאה לפריחה תרבותית, כלכלית וחברתית. התרומה האכדית נודעה בעיקר בזכות המלך חמוּרָבִּי ששלט בממלכה בסביבות 1750 לפני הספירה, ונודע בעיקר בזכות "חוקי חמורבי" שהיו קוד ההתנהגות החברתי המקיף הראשון הידוע בעולם. בסביבות שנת 1000 לפני הספירה החלה הגירה של אַשוּרים מפרס של ימינו, ובעקבותיה השתלטו האשורים על המזרח התיכון. אלה שלטו עד הכיבוש היווני שבהנהגת אלכסנדר מוקדון בשנת 330 לפני הספירה.
הידע שלנו על המתמטיקה הבבלית מבוסס בעיקר על שברי חרסים שנמצאו במספרים גדולים, ושהיו אמצעי הכתיבה העיקרי בממלכה לאורך שנותיה. אוסף גדול במיוחד נמצא בעיר נִיפּוּר. חלקים גדולים ממנו הועברו לאוניברסיטת יֵיל שבארצות־הברית ועבודת הפיענוח שלהם עדיין לא הושלמה. הכתב הבבלי היה כתב היתדות, שהכיל גם סימונים למספרים. שיטת הרישום היתה מבוססת על מיקום הסִפרה, בדומה לכתיב העשרוני של ימינו, אך מסיבות שאינן נהירות לחלוטין המספרים נרשמו על בסיס 60. השיטה העשרונית פותחה בהודו רק בערך במאה השישית לספירה והיא יובאה למערב על ידי הערבים במאה השמינית, אך אומצה באירופה באופן מלא רק במאה השש־עשרה. לבבלים לא היה סימון הדומה לאפס של ימינו. אם היינו מאמצים את השיטה הבבלית בימינו, היו המספרים 24 מסמנים הן את המספר עשרים וארבע והן את המספר מאתיים וארבע. על הקורא היה להסיק מן ההקשר מהו המספר שאליו התכוון הכותב. במקרים שבהם הכוונה היתה עלולה להיות בלתי ברורה - וגם זאת רק במאות האחרונות של הממלכה - היו משאירים רווח כלשהו בין המספרים כדי לציין את ההבדל, כלומר, רווח בין ה־2 ל־4 היה מציין כי הכוונה היא למספר מאתיים וארבע. (בכמה חרסים נמצא במקום שהיום היינו משתמשים בספרה 0 סימן שבטקסטים מילוליים שימש כסימן הפרדה. יש המפרשים עובדה זו כשימוש ראשון בסימן לאפס כמספר). יתר על כן, השימוש בבסיס 60 לא היה בלעדי, ולעיתים השתמשו בבסיסים 25 או 20. גם אז היה על הקורא להסיק מן ההקשר של הכתוב מהו הבסיס. ממרחק הזמן שעבר, הנוהג הזה נראה מכביד ואף מוזר. אך צריך לשים לב שכך אנו נוהגים בכתיבה שאינה מתמטית. אי־בהירות, ואף דו־משמעות, נמצאים למכביר בשפה המדוברת ובשפה הכתובה. בדרך כלל הקורא מסוגל להבין את הכוונה בכתוב מתוך ההקשר. הסיבה לאי־הבהירות ברורה: ניסוחים קפדניים, שלא ישאירו כל אפשרות לפרשנות מוטעית, יעלו במאמץ רב שבדרך כלל לא שווה את התועלת שתצמח ממנו. חוסר הקפדנות הוא יעיל יותר ולכן עדיף במאבק ההישרדות. הבבלים התייחסו לביטוים המתמטיים כאל חלק מן השפה, ולא ראו צורך לדקדק בהם יותר מכפי שהשפה מדקדקת בביטוייה.
מבין מאות אלפי החרסים שנמצאו ישנם רבים עם טבלאות ובהן חישובים. החישובים הכילו טבלאות של סכומי מספרים, של ריבועים, טבלאות של ריבית שראוי לקחת, ואפילו תרגילי חשבון שמעידים על חישובים של ריבית דריבית. זו כמובן הפרשנות שלנו לְמה שרשום על החרסים. הכיתוב עצמו אינו מלֻווה בהסברים. בדרך כלל אפשר לשער את הצורך המסחרי של פעולות חשבון אלה, אך נמצאו גם חרסים ועליהם תרגילים שתכליתם לא ברורה. אחד החרסים מכיל תרגיל שבסימונים של ימינו יהיה מן הצורה
 

 
הסימון לחזקות של מספרים הוצע רק במאה השבע־עשרה, על ידי רְנֶה דקארט (Descartes)). תרגילי חזקות דומים נמצאו גם כן. ברור לכן כי הבבלים ידעו לבצע פעולות אריתמטיות הכרוכות בחזקות של מספרים, אך בשום מקום לא נמצאו הסברים כלליים, או נוסחאות, לפיהם בוצע החישוב. חרסים אחרים מכילים חישובים של שטחים, של אלכסונים במלבן ושל רדיוס מעגל. בתרגום לימינו נמצא כי בתרגיל אחד היחס בין היקף העיגול והקוטר של העיגול הוא 3. בתרגיל אחר היחס הוא 3 ושמינית. אלה ערכים לא רחוקים מהערך המדויק π שנמצא מאוחר יותר, אך אין כל עדות לכך שהבבלים ידעו או שיערו כי היחס בין היקף המעגל והקוטר הוא קבוע, או שניסו להוכיח זאת. המתמטיקה הבבלית חסרה כל יסוד של הוכחה, קפדנית או לא קפדנית.
 
אחד החרסים המפורסמים ביותר שנמצא בניפור ידוע בשם פּלִימפטוֹן 322, מספר הלקוח מתוך הקטלוג של החרסים באוסף אוניברסיטת ייל. בטבלה שלהלן מוצגת השלָמָה של הטבלה שבחרס פלימפטון (בחרס עצמו העמוד השמאלי חסר):
 

 
החרס מתוארך לסביבות 1800 לפני הספירה. לא קל לפענח את הכתוב בו, אבל הפירוש המקובל הוא כי למעט שלוש שגיאות, שגם אותן אפשר להסביר כטעויות סופר, החרס מציג את שני המספרים האחרונים של שלשות פיתגוריות, כלומר, שלשות של מספרים שלמים וחיוביים המקיימים את השוויון . הקשר למשפט פיתגורס (שבו נדון מאוחר יותר) ברור: המשוואה תקפה לגבי שני הניצבים והיתר של משולש ישר זווית. אנחנו רואים שהבבלים של לפני כמעט ארבעת אלפים שנה הצליחו לזהות תבנית בין מספרים, לחשב ולהציג שלשות פיתגוריות של מספרים גדולים מאוד. ישנן גם ראיות לכך שהבבלים הבינו את המשמעות הגיאומטרית של שלשות פיתגוריות. נמצאו חרסים שבהם תרגילים כמו: מוט ניצב ליד קיר וקצהו מגיע לגובה של 13 אמות, קצהו מחליק למטה אמה אחת, מהו המרחק של בסיס המוט מהקיר? הפיתרון, כלומר 5, מתקבל דרך שימוש בשלשה הפיתגורית 5, 12, 13. בכל התרגילים מסוג זה שנמצאו, נראה שנעשה שימוש בשלשות שחושבו קודם לכן. אין כל ראיה לנוסחה או לשיטה שבה השתמשו הבבלים כדי לחשב שלשות אלה, ואין ראיה לכך שהבבלים הביעו השערה לגבי הכלליות של הקשר הזה.
בנוסף להעדר של קפדנות בניסוח והוכחה, נראה היה כי הבבלים אף לא הקפידו על דיוק בחישובים. בטבלאות של מכפלת מספרים מוצאים טעויות שברור כי הן נובעות מכך שהכותב לא ייחס חשיבות לתוצאה המדויקת. תוצאה מקורבת, שתספיק לצרכים שימושיים, סיפקה אותו. המתמטיקה היתה כלי שימושי, לא נושא עיוני לשמו.
 
גם הסינים פיתחו מתמטיקה מתקדמת למדי לזמנה והשתמשו בה. היא פותחה מאוחר יותר מאשר זו הבבלית והמצרית (בה נדון בפיסקה הבא), וללא קשר ישיר עם תרבויות אלה. הידע שלנו על המתמטיקה הסינית מתבסס על כתבים הודיים מהמאות הראשונות לספירה, שעובדו על ידי הערבים בתקופה מאוחרת יותר של האלף הראשון לספירה. הן ההודים והן הערבים היו מודעים למתמטיקה שפותחה בבבל, במצרים ולאחר מכן ביוון, וצריך להביא זאת בחשבון כאשר בוחנים את הפרשנות שלהם לגבי המתמטיקה בסין. נתעכב רק על יסוד אחד, והוא ההתייחסות לקשרים בין הצלעות של משולש ישר זווית, או בין הצלעות והאלכסון של מלבן. בדומה לטקסטים הבבליים, טקסטים סיניים המלוּוים באיורים, והמיוחסים למאה ה־12 לפני הספירה, מדגימים מספר רב של תרגילים בחישוב אורכים ושטחים המבוססים על היחסים המופיעים במשפט פיתגורס. למשל: מוט עץ צמוד לקיר וגובהו 6 קאו (מידת אורך סינית); מרחיקים את בסיסו מהקיר למרחק של 2 קאו. לאיזה גובה יגיע ראש המוט השעוּן? ספרי הלימוד הללו מדגימים כיצד אפשר למצוא את הגובה שאליו מגיע המוט המושען, וכך במספר גדול של בעיות קונקרטיות עם מספרים נתונים. ברור שלכותבי הטקסטים היתה שיטה כללית ולפיה פעלו, אך אין כל ראיה לכך שניסו להוכיח כי שיטתם נכונה תמיד, או אפילו לנסח את השיטה בצורה כללית.
 
הממלכה המצרית מתוארכת החל מסביבות 4200 לפני הספירה. הממלכה שלטה, תחת שושלות שונות, עד הכיבוש היווני במאה הרביעית לפני הספירה. אין עדויות ישירות אודות מתמטיקה שפותחה במצרים בתקופות הראשונות, אבל אפשר להסיק על רמת המתמטיקה של המצרים מעדויות לא ישירות. בניית הפירמידות, למשל, הצריכה ידע הנדסי רב ויכולת חישובית מפותחת מאוד. הפירמידה הגדולה של גיזָה בפאתי קהיר הוקמה בסביבות 2560 לפני הספירה. זו פירמידה שבסיסה מרובע, וכאשר מחלקים את היקף הבסיס בפעמיים הגובה מקבלים קירוב מרשים ביותר של π. ספק אם הדבר מעיד על רמז שהשאירו בוני הפירמידה לכך שהם אכן ידעו מהו π. בניית מקדש אבו סימבֶּל שבדרום מצרים - אגם נאסְר של היום - הצריכה ללא ספק ידע רב הן בהנדסה והן באסטרונומיה. פעם בשנה, בשעת הצהריים, האירו קרני השמש את פסל המלך רעמסס ה־II. רבים מִתְפַּעלים מהגודל העצום של הפירמידות ותוהים איך אפשר היה לבנות אותן באמצעים שהיו אז למצרים. אינני מתפעל יתר על המידה מהגודל של המבנים המצריים. תל של טֶרְמיטים בימינו הוא עצום לא פחות, יחסית לגודל הטרמיטים, ומבחינה הנדסית מסובך אף יותר, וזאת כיוון שהטרמיטים מביאים בחשבון את כיווּני הרוח, את סכנות ההצפה שבאזור, הם דואגים לאוורור ראוי למחילותיהם, וכדומה. אנחנו מבינים כיצד האבולוציה הביאה את הטרמיטים ליכולות בנייה שכאלה. מפאת הזמן שעבר אנחנו מבינים פחות את שיטות הבנייה של מלכי מצרים, ולכן מתפעלים מהתוצאה. אני מתפעל הרבה יותר מן היכולת המצרית לבנות מבנה גדול כל כך ולכוון את הפתח לכיוון השמש כך שתאיר את פסל המלך בדיוק פעם בשנה. שיטת ניסוי וטעייה, שהיא בסיס לַהתפתחות האבולוציונית, לא תעזור הרבה בבניית מקדש שבו פסל השליט יואר רק פעם אחת בשנה. ההבנה המצרית בהנדסה, והחישובים שאותם בלי ספק ידעו לבצע, הם שהביאו את המצרים להישג האינטלקטואלי המרשים הזה.
הידע הישיר שלנו על המתמטיקה המצרית שאוב ממספר לא גדול של פפירוסים שהשתמרו. גם הפפירוסים המצריים מספקים שלל תרגילים. אחד הפפירוסים המפורסמים נקרא פפירוס רַיינד (Reind Papirus), על שם הארכיאולוג הבריטי שגילה אותו בשנת 1858, או פפירוס אָהמֶס (Ahmes), על שם האיש - כנראה מורה מצרי קדום - שכתב אותו. הפפירוס נמצא במוזיאון הבריטי שבלונדון. הוא מציג מספר רב של תרגילים בחיבור מספרים, בפתירת משוואות עם כמה נעלמים, וכיוצא באלה. הכתב שבו השתמשו המצרים הקדמונים היה כתב החרטומים, שהיה מורכב בעיקרו מציורים המבטאים בדרך כלל מילים ולפעמים הברות או אותיות. כתב החרטומים נמצא בדרך כלל חרוט על לוחות אבן. במקביל התפתח כתיב פשוט, או עממי יותר, הכתב ההיראטי, אותו רשמו בדיו על הפפירוסים, ובו נרשמו גם התרגילים במתמטיקה שעל פפירוס ריינד. הכתב ההִירָאטִי נרשם מימין לשמאל, כמו העברית והערבית של ימינו, והמספרים נרשמו על בסיס עשר, אולם למיקום הספרה לא היתה חשיבות. כך, למשל, ∩ סימן עשר ואילו _ סימן ארבע. בהתאם, את המספר עשרים ושמונה ניתן היה לסמן ∩∩_ _. היו סימנים מיוחדים לשברים פשוטים, אבל לא היה סימן המציין חיבור של מספרים. כאשר היה צורך לסכם מספרים, נרשמו אלה זה לצד זה ועל הקורא היה להבין מן ההקשר את הצורך לסכם אותם. שוב, כמו אצל הבבלים, אנחנו רואים כי היחס לטקסט המתמטי היה כמו היחס לשפה, כלומר ללא צורך להקפיד יותר מכפי שמקפידים בשפה הכתובה הרגילה.
תרגיל מפורסם מפפירוס ריינד מציג 7 בתים, 49 חתולים, 343 עכברים, 2401 שקי חיטה, 16807 משקולות, וכתשובה, המספר 19607. נשים לב שמדובר בסכום של חזקות של המספר 7, כלומר,  ולכן אפשר להניח כי המצרים ידעו לסכם חזקות של מספרים. איננו יודעים כיצד עשו זאת. לא מוצגת כל נוסחה כללית לסיכום שכזה, או לתרגילים אחרים. הקורא, או הלומד, צריך היה כנראה להכליל מתוך הדרך שבה נפתרו הדוגמאות כיצד לפתור דוגמאות אחרות. הוכחות לנכונוּת הפיתרון גם הן אינן בנמצא.
היכולות ההנדסיות של המצרים מלמדות גם הן על הידיעה המתמטית בגיאומטריה. כמו כן, הפפירוסים מציגים תרגילים לחישוב שטחים. מתרגיל של חישוב שטח עיגול מסוים אפשר לחלץ מהו הערך שהמצרים נתנו בחישובים שונים ליחס π שבין היקף מעגל והקוטר שלו. לדוגמה, באחד החישובים הערך הוא:  בריבוע, השווה בקירוב ל־3.16049. זהו קירוב טוב למדי לערך הנכון, אלא שלא מוצגת הוכחה, או שיטה כללית, ואין ראיה לכך שהמצרים ידעו או בכלל שיערו שהיחס שבין היקף מעגל וקוטר המעגל הוא קבוע.
 
7. ואז הופיעו היוונים
המתמטיקה היוונית, שפותחה בערך בין שנת 600 לפני הספירה ועד עלייתו לשלטון של אלכסנדר מוקדון במאה הרביעית לפני הספירה, הציגה שינויים דרמטיים בגישה למתמטיקה ובשיטות לפיתוח, לניתוח ולשימושים שלה. הדרך שהותוותה בתקופה זו שימשה את היוונים עצמם במאות השנים הבאות, ונשארה כמעט ללא שינוי, השיטה המתמטית הדומיננטית מאז ועד ימינו. לפני שנציג בקצרה את ההתפתחויות, נעיר כי לאחר אלפיים וחמש מאות שנה של לימוד ועשייה לאור השיטות שהכניסו היוונים, לאחר דורות רבים שבהם התרגלנו לצורת ניתוח ודיון כזו, קשה לפעמים להעריך את עוצמת התפנית הדרמטית שאירעה אז. הדרך שנסללה על ידי היוונים נראית היום טבעית ומובנת מאליה, אבל הרעיונות החדשים היו בניגוד למה שניתן היה לצפות מפיתוח שהיסודות האבולוציוניים דומיננטיים בו. המתמטיקה היוונית היתה סטייה חדה מאלפי שנות עשייה מתמטית שקדמו לה, והציגה גישה הנוגדת במידה רבה לדרך המוכתבת על ידי אינטואיציה בריאה. לכן מובן גם מדוע הפיתוח וההטמעה של השיטה עצמה נמשכו מאות שנים של התרגלות לרעיונות החדשים. הפרק הנוכחי יציג את ההתפתחויות העיקריות מנקודת מבט זו. על הסיבות שהביאו את היוונים להניע את המהפכה הזו במתמטיקה נעמוד בפרק הבא.
בניגוד לבבלים ולמצרים, אין בידינו כתובים ישירים מהתקופה היוונית הקלסית. כתיבה התבצעה אז על פפירוסים, שיטה שנלמדה מהמצרים. הפפירוסים לא השתמרו. על התפתחות המתמטיקה בתקופה הקלסית אנו למדים מהערות הנמצאות בכתבים מאוחרים הרבה יותר, ומגירסאות מאוחרות של הכתבים העתיקים. גירסאות אלה היו העתקים של כתבים עתיקים, אך כמנהג הימים ההם המעתיק לא הקפיד לשמור על הטקסט כפי שהוא, וגם הרגיש חופשי לגרוע ולהוסיף, לתקן שגיאות, לגרום לשגיאות חדשות, וכדומה, הכול לפי הבנתו הוא את החומר. אפילו הספר המפורסם ביותר במתמטיקה, היסודות של אֶוּקלִידֶס, מוכר לנו בזכות גירסאות שנרשמו מאות שנים אחריו. המחקר ההיסטורי של התקופה מבוסס, במידת האפשר, על השוואת טקסטים מאוחרים שהועתקו על ידי מעתיקים שונים. התמונה המתקבלת אומנם אינה מפורטת, אך היא נראית בכל זאת שלמה ואמינה.
 
תחילת הרפורמה מיוחסת לתָלֶס בן העיר היוונית מִילֶטוֹס, הנמצאת בשטח טורקיה של היום, ולממשיכיו ותלמידיו במילטוס, אַנַאכּסִימַנדרוֹס ואַנַאכּסִימֶנֶס. תלס חי בין השנים 640 ו־546 לפני הספירה. האינפורמציה עליו היא ממקורות מאוחרים יותר. ההיסטוריון פְּלוּטארְכוֹס, בן המאה הראשונה לספירה, כותב על תלס כי הוא הפילוסוף הראשון שלא היה פוליטיקאי. במקום אחר נאמר כי תלס היה הראשון שהשתמש בחוכמתו לצרכים מעשיים. לא ברור איך לפרש דברים אלה בראי של זמננו, אך כנראה שתלס צבר הרבה כסף ממסחר. הוא הִרבה לנסוע בעולם העתיק, למד הן מהבבלים והן מהמצרים, ובילה מספר שנים במצרים. תלס התפרסם בכך שמדד את גובה הפירמידה של גיזה. השיטה שלו היתה לחכות עד שהצל של מוט, או של אדם, ישווה לגובה שלו, ואז, בעזרת שיקול של דמיון משולשים טען שהצל של הפירמידה שווה לגובה שלה. את אורך הצל אפשר היה למדוד ישירות, ומכאן מצא תלס את גובה הפירמידה. על בסיס הטיעונים הללו הוא פיתח גיאומטריה של משולשים דומים, וחישב בצורה דומה גודל של אוניות ומרחקן מהחוף. אבל הוא לא הסתפק בכך: תלס הוכיח שכל שני משולשים שבסיסיהם ושתי הזוויות מהבסיס שוות, הם עצמם חופפים. מכאן קצרה הדרך להוכחת נכונות של חישובי שטחים. חישובים דומים נעשו על ידי הבבלים, הסינים והמצרים, אבל אף אחד מאלה לא מצא לנכון להציג תורה כללית לגופים גיאומטריים כלשהם, ולהוכיח כי שיטת החישוב נכונה תמיד.
בין אם מושג ההוכחה הוצג לראשונה על ידי תלס ובין אם המושג רק יוחס לו מאוחר יותר, קשה להפריז במידת החלוציות של פעולה זו. אחרי שהשתכנעת כי טענה מסוימת נכונה, לחזור ולהוכיח אותה בצורה דקדקנית ומחמירה יהיה בזבוז של משאבים וזמן, לא כל שכן אם אתה מנסה להוכיח כי הטענה נכונה תמיד. טענות שלא הוכחו ייתכן שיהיו שגויות, אבל לא להרשות שגיאות באופן מוחלט פירושו לדרוש מאמץ שהתועלת הצומחת ממנו, בדרך כלל, לא מצדיקה אותו. הדרישה להוכחה מוחלטת היא מעמסה בתחרות האבולוציונית. לא בכדי מתמטיקאים במשך אלפי שנות פיתוח המתמטיקה שקדמה לתלס, לא טרחו לחזור ולהוכיח טענות שכבר השתכנעו בנכונותן. אך בעקבות הצעד הראשוני של תלס, והמשכו על ידי המתמטיקאים היווניים אחריו, התקבל מושג ההוכחה כנכס צאן ברזל של המתמטיקה.
 
צעדים מכריעים נוספים בעיצוב המושגים החדשים במתמטיקה נעשו על ידי פִּיתָגורַס ובית מדרשו. פיתגורס היה בן האי סַאמוֹס השוכן לא רחוק מחופי אנטליה שבטורקיה של היום. פיתגורס נולד, לפי המסופר, בשנת 572 לפני הספירה, ומקובל לחשוב כי היה תלמיד של תלס במילטוס. הוא נסע ללמוד במצרים, ועם חזרתו לסאמוס מצא שם משטר טירני, ולכן עבר לעיר קורטונה באיטליה, שהיתה אז בשליטת היוונים, וגם הקים את מסדר הפיתגוריים. למסדר נקשרו כל מיני כתרים של מסתורין, ולא ברור מה מיתוס ומה אמת בסיפורים אודותיו. המסדר היה מעורב בפוליטיקה המקומית בקורטונה, ויִיחֵס עצמו לשכבות העילית. על רקע זה התנגש עם הכוחות הדמוקרטיים שעלו בעיר, ופיתגורס עצמו נרצח, לפי המסופר, בשנת 497 לפני הספירה. חברי המסדר התפזרו בבתי מדרש שונים ביוון, אך המשיכו את פעילותם המתמטית במסורת הפיתגורית כמאתיים שנה. היה להם מנהג לייחס כל משפט חשוב או תוצאה מתמטית אחרת למייסד המסדר, כך שלא ברור מה תרם פיתגורס עצמו ומה צריך היה להיות משוּיַּךְ לממשיכיו.
אחת התרומות המפורסמות של פיתגורס למתמטיקה הוא המשפט הקרוי על שמו: במשולש ישר זווית סכום ריבועי האורכים של הניצבים שווה לריבוע אורך היתר. זה אחד המשפטים הידועים ביותר במתמטיקה, ועד היום התפרסמו כמה מאות(!) הוכחות שונות למשפט זה. מעבר לגילוי של התכונה הכללית הגלומה במשפט, התרומה העיקרית של פיתגורס במקרה זה היתה החיפוש אחרי תכונה כללית. כפי שראינו, הבבלים כבר הכירו שלשות פיתגוריות, כלומר שלשות של מספרים שלמים המקיימים את היחס במשוואת פיתגורס, והם יצרו רשימות של שלשות כאלה. הסינים השאירו הוראות כתובות איך לחשב אורך צלע מסוימת אם ידועות שתי הצלעות האחרות, וזאת בדוגמאות מספריות רבות וציורים של משולשים שונים. מהחישובים שהשאירו המצרים גם עולה כי הם הכירו את היחסים בין צלעות משולש ישר זווית בדוגמאות רבות של משולשים. והנה, לא עלה בדעת כל אלה לנסות ולשאול, האם היחס מתקיים לכל המשולשים ישרי הזווית, או להוכיח את נוסחת פיתגורס אפילו למשולשים שלגביהם חישבו את היחס הזה. הם ידעו על הקשר בין אורכי הצלעות, אבל השתמשו בו רק בהקשרים של החישובים המסוימים שהעסיקו אותם.

 
יתר על כן, הפיתגוריים (ואולי פיתגורס עצמו) לא רק הוכיחו את היחס בין צלעות המשולש, אלא חיפשו ומצאו נוסחה שממנה אפשר היה לחשב את כל השלשות הפיתגוריות.
 
◄ הנה הנוסחה (בסימונים המקובלים בימינו):
לכל שני מספרים שלמים u ו-v, כך ש-u גדול מ-v, נגדיר
 

 
חישוב פשוט מראה כי C2=A2+B2, כלומר A, B, ו-C הם שלשה פיתגורית. המתמטיקאים הפיתגוריים הוכיחו כי כל השלשות הפיתגוריות מתקבלות בצורה זו (הטענה כי אלה כל השלשות מופיעה בספרו של אוקלידס, אך ללא הוכחה).
 
שימו לב לקפיצה המחשבתית: הבבלים והסינים הציגו רשימות של הרבה שלשות פיתגוריות, היוונים מצאו נוסחה שתמַצה את כולן. הבבלים השקיעו מאמץ רב לגלות שלשות פיתגוריות, אך לא עלה על דעתם לחפש נוסחה שתחשב את כל השלשות הללו. אכן, מדוע שמישהו יתחיל לחפש את כל השלשות? לאיזה יתרון אבולוציוני יינתן ביטוי בצורך למצוא את כל המספרים הללו?
 
תרומה מושגית ראשונה במעלה של הפיתגוריים קשורה לשיטת ההוכחה. הם האמינו בקשר ההדוק שבין המספרים והגיאומטריה, ובכך שהעולם מורכב מהמספרים השלמים ומנות שלהם, כלומר שברים, או בלשונם של היוונים: גדָלים הניתנים להבעה. למרבה תדהמתם, כך מסופר, גילו שקיימים בעולם גדלים שאינם ניתנים להבעה, ובלשוננו, מספרים אי־רציונליים. גודל כזה הוא אורך האלכסון של ריבוע שאורך צלעותיו הוא 1. אחת הגירסאות מספרת כי הפיתגוריים שמרו את הגילוי הזה בסוד, ואף השליכו לים את חברם היפָּסוּס שהדליף את קיום המספרים הללו מחוץ לכותלי המסדר. סיפור אחר אומר שהיפסוס עצמו גילה את קיום המספרים האי־רציונליים והושלך לים בתואנה של כפירה, כיוון שגילויו מקלקל את בסיס האמונה שלהם ביחס למבנה העולם. בין כך ובין כך, החלק המעניין אותנו כאן הוא ההוכחה של הטענה. הנה היא צעד אחר צעד:
 
◄ א. נסתכל על המשולש הבנוי משתי צלעות ומהאלכסון של ריבוע שאורך צלעו 1.
 ב. לפי משפט פיתגורס, אורך האלכסון הוא שורש ריבועי של 2, שמקובל לסמנו 2√.
 ג. נניח שהטענה לא נכונה - שורש 2 הוא כן רציונלי, כלומר ניתן לכתיבה כמנה של שני מספרים שלמים חיוביים, נאמר .
 ד. אפשר להניח כי אחד משני המספרים הוא אי-זוגי (אחרת אפשר לחלק, ואם יש צורך אז לחזור ולחלק, את המונה והמכנה בשתיים, עד שאו המונה יהיה אי-זוגי או המכנה יהיה אי-זוגי).
 ה. נעלה בריבוע את  ולפי ההנחה שזה עתה הנחנו התוצאה היא 2, כלומר, מתקיים השוויון .
 ו. מכאן ש-a הוא מספר זוגי. לכן אפשר לכתוב אותו בצורה 2c.
 ז. הצבה של 2c במקום a בשוויון הקודם נותנת את השוויון 2b2=4c2.
 ח. חלוקה של שוויון זה ב-2 מביאה לשוויון b2=2c2 ומכאן למסקנה שגם המספר b הוא זוגי.
 ט. אבל בחרנו כך שלא מתקיים שהן a והן b זוגיים. הגענו לסתירה הנובעת מן ההנחה כי 2√ הוא רציונלי.
 י. מסקנה: ההנחה שניתן להציג את 2√ כמנה הביאה לסתירה, ולכן אנו מסיקים כי אי-אפשר להציג את 2√ כמנה, והוכחנו כי 2√ הוא מספר אי-רציונלי.
 
שיטת ההוכחה הזו נקראת הוכחה בדרך השלילה, או הוכחה על ידי סתירה. טיעון העושה שימוש בסתירה לא רק שהיה חדשני בזמנו במידה שקשה לתארה, אלא הוא גם נוגד לדרך שבה המוח האנושי מתפקד באופן טבעי. היכן יכול היה להתפתח טיעון המתחיל בביטוי "נניח שלא" כפי שהנחנו בצעד השלישי של ההוכחה? ינסה נא כל אחד מהקוראים להיזכר מתי, והיכן, מחוץ לשיעורי המתמטיקה, הגיע באופן אינטואיטיבי להלך מחשבה המשתמש בהנחה שמשהו אינו מתקיים. המחשבה האינטואיטיבית בנויה על אסוציאציות, על קשרים בין הסתכלות נוכחית לבין היכרות עם מצבים קודמים. מאורע שאינו קיים לא עולה באופן טבעי כאסוציאציה. לאחר שנים כה רבות של פיתוחים מתמטיים שאליהם הורגלנו, קשה להעריך את החדשנות שבגישה. ייתכן מאוד כי הסיבה האמיתית לכך שהפיתגוריים הסתירו את המימצא כל כך הרבה שנים היתה כי לא היו בטוחים לחלוטין בתקֵפות של הוכחה דרך סתירה. ההיסוס ביחס לתקפות של הוכחות כאלה עלה שוב בתקופה המודרנית, ועוד נגיע לכך בפרק שבו נדון ביסודות המתמטיקה.
 
המספרים הראשוניים הם מספרים טבעיים המתחלקים ללא שארית רק בעצמם ובמספר 1. הם היו מוכרים לפיתגוריים, שחקרו אותם בהרחבה. בין השאר היוונים הוכיחו כי יש אינסוף מספרים ראשוניים. ההוכחה פשוטה:
 
◄ א. נשים לב שכל מספר אפשר לרשום כמכפלה של ראשוניים; אלה נקראים הגורמים של המספר.
 ב. נכפיל n מספרים ראשוניים ונוסיף לתוצאה 1, ונקרא לתוצאה M.
 ג. אם M ראשוני, מצאנו מספר ראשוני נוסף על n אלה שהתחלנו עימם.
 ד. אם M אינו ראשוני, נרשום אותו כמכפלה של ראשוניים ונבחר אחד מגורמי המכפלה הזו.
 ה. הגורם הראשוני שבחרנו מחלק את M ללא שארית, ולכן הוא שונה מכל אחד מ-n המספרים הראשוניים שהכפלנו מלכתחילה. אכן, אלה מחלקים את M עם שארית 1.
 ו. כך, גם במקרה השני מצאנו מספר ראשוני נוסף על n הראשוניים שלקחו חלק בכפל.
 ז. מסקנה: מספר הראשוניים גדול מ-n. אבל n הוא מספר כלשהו, לכן מספר הראשוניים אינו סופי.
 
אך מדוע מישהו יתעניין בשאלה האם יש אינסוף ראשוניים? היכן באבולוציה השאלה האם יש מספר אינסופי של עצמים כלשהם תעלה כמשהו בעל ערך? ההתעניינות בתכונות המתמטיות של המספרים הראשוניים, וביניהן תכונות ללא שימושים נראים לעין, החלה אצל היוונים, נמשכה דרך דורות של מתמטיקאים, והיא חלק חשוב של המחקר המתמטי עד היום. בימינו נמצאו שימושים למספרים ראשוניים מחוץ לעניין המתמטי המופשט, כולל שימושים מסחריים, למשל להצפנה, שניפגש בהם מאוחר יותר. אבל במשך אלפי שנים היתה זו בעיקר התעניינות לשמה, מתמטיקה צרופה. אצל היוונים, כנראה, לא היה העיסוק במספרים סתם סיפוק של סקרנות, אלא אמונה כי כך יבינו טוב יותר את העולם שסביבנו.
 
הקפיצה הבאה בשינוי בהתפתחות המתמטיקה אצל היוונים נזקפת לאקדמיה האתונאית וליוצאיה, ובמיוחד למייסד האקדמיה אפּלָטוֹן, לחברו וידידו אֶוּדוֹקסוֹס, ולתלמידו של אפלטון, אריסטו. את התרומה המושגית של קבוצה זו אפשר לסכם בכך שהם גיבשו גישה המבססת את המתמטיקה על אקסיומות, והנסמכת על הלוגיקה כמכשיר עיקרי בשיטת ההוכחה הדדוקטיבית. כפי שננסה לשכנע כאן ובהמשך, שתי תרומות אלה מתנגשות עם האינטואיציה הטבעית של החשיבה האנושית.
אפלטון חי במאה החמישית והרביעית לפני הספירה, (427-347 לפני הספירה), והיה בן למשפחת אצולה של שליטים בעלי השפעה. הוא היה תלמיד של סוקרטס, מי שנחשב לאבי הפילוסופיה המערבית. בצעירותו היו לאפלטון שאיפות פוליטיות אך הוא זנח אותן, אולי כי ראה מה עלה בגורלו של סוקרטס שנידון למוות לאחר משפטו המפורסם, כאויב הדמוקרטיה האתונאית החדשה. אפלטון נסע בעולם העתיק, ביקר במצרים ובמושבות היווניות בסיציליה, שם התוודע למתמטיקה המצרית ולתלמידי פיתגורס. בשובו לאתונה ייסד את ה"אקדמיה" שלו, שכנראה באמת היתה האקדמיה הראשונה בעולם המערבי. לאקדמיה זו היתה השפעה מכרעת על התפתחות המדע והפילוסופיה של התקופה. אפלטון היה ביסודו פילוסוף, אבל התעניינותו במתמטיקה נבעה מאמונה כי האמת על מהות הטבע יכולה להתגלות רק דרך המתמטיקה. בשער האקדמיה אף הציב שלט, ובו האמירה המפורסמת: אין כניסה למי שאינו גיאומטריקן. יתר על כן, בהתאמה לפילוסופיה שפיתח בתחומים אחרים, הוא טען כי למתמטיקה, כלומר למימצאים המתמטיים, קיום עצמאי בעולם של אידאות שאינו קשור למהות הארצית שאנו חוֹוים יום־יום. בפרט, איננו ממציאים מתמטיקה אלא מגלים אותה. הדרך הנכונה לעשות זאת היא לנסח את ההנחות, שנקרא להן אקסיומות, והן שתשמשנה אותנו להסיק מהן בדרך לוגית, דדוקטיבית, את האמיתות המתמטיות. לצורך זה האקסיומות צריכות להיות פשוטות ומובנות מאליהן. ובמיוחד, רצוי להשתמש במספר קטן ככל האפשר של אקסיומות. במתמטיקה המודרנית מקובל (לא על כל החוקרים, יש לומר) כי החוקר יכול לבחור את האקסיומות שלו כרצונו. ספק אם היתה זו דעתו של אפלטון. הוא האמין שהאקסיומות הן הצינור המקשר בין האדם הארצי ובין האמת המתמטית, ולכן על האקסיומות להיות "אמיתיות", כלומר תואמות את המציאות בעולמנו, באשר הוא.
לנסח הנחות ולבחון מצב תחת הנחות מוסכמות מראש היא שיטת ניתוח מקובלת בימינו בתחומים רבים, גם מחוץ למתמטיקה. אך נשים לב כי שיטה זו מנוגדת לחשיבה האנושית הטבעית. קשה לראות כיצד האבולוציה נותנת יתרון לפרט האומר: איני רואה נמר בסביבה ומעתה אניח שאין נמר בשטח. איזה יתרון יצמח לאדם שמתעלם מתכונות מסוימות רק כי הוא לא הניח אותן? גם מתמטיקאים מקצועיים, האמונים על השיטה המבוססת על אקסיומות, אינם מסוגלים להגביל את האינטואיציה שלהם לאקסיומות. ראשית הם פותרים אינטואיטיבית את הבעיה העומדת לפניהם, או מנחשים דרך לפיתרון הבעיה, ורק אחר כך בודקים אם הפיתרון שלהם אכן הסתמך רק על האקסיומות, או גם על הנחות נוספות, או על תכונות שאינן מתיישבות עם האקסיומות. במקרה כזה עליהם לחפש פיתרון חדש.
בתקופתו של אפלטון נדונו גם בעיות מתמטיות מופשטות כמו ריבוע המעגל, חלוקת זווית לשלוש זוויות שוות, והכפלת נפח קובייה - הכול בעזרת סרגל ומחוגה בלבד. כלומר, היה זה ניסיון להגיע על ידי שרטוט, בסרגל ובמחוגה בלבד, מריבוע נתון לעיגול עם אותו השטח, וכדומה לגבי הבעיות האחרות.

 
הבעיות הללו היו מוכרות לפני תקופת אפלטון. בעיית ריבוע המעגל מיוחסת לפילוסוף אָנָקְסָאגוֹרָס, שהגה אותה בשבתו בבית הסוהר. השאלות קיבלו משנה תוקף בתקופתו של אפלטון, וזאת במקביל למאמץ לבסס את ההוכחות המתמטיות על מינימום של הנחות. ברבות השנים התברר כי אין אפשרות לבצע את המטלות האלה בעזרת סרגל ומחוגה בלבד. אבל ההוכחה המלאה היתה צריכה לחכות עד המאה התשע־עשרה. שאלות אלה ודומות להן משמשות מנוע ותמריץ למחקר מאז היוונים ועד היום.
ונשאלת השאלה: מה הניע את היוונים עצמם להתעניין דווקא בשאלות כאלה? אחד הסיפורים מתרץ את העניין שגילו בהכפלת נפח הקובייה בכך ששליט יווני קינא במתחרהו בעיר שכנה וביקש כי הבנאים יכפילו את נפח המָאוּזוֹליאוּם שעסקו בבנייתו. הסיפור אינו משכנע. שליט סביר לא היה כובל את הבנאים שלו להשתמש בסרגל ובמחוגה בלבד. מקור הרעיון שלא להשתמש בכל האמצעים שברשותך אינו בתחרות האבולוציונית. שוב, שווּ בנפשכם אדם קדמון בורח מנמר, ואומר לעצמו, נראה אם אני יכול לברוח רק על רגל אחת. פרטים כאלה לא ישרדו במאבק האבולוציוני. גירסה אחרת על מקור שאלות אלה נמצא בכתבים של ההיסטוריון פלוּטארכוס: בני האי דֶלוֹס פנו לאוֹרַקְל המקומי לעצה כיצד לגרום להפסקת המריבות התכופות בין התושבים לבין עצמם. תשובת האורקל (תשובה לא מפתיעה, יש לומר) היתה כי עליהם להכפיל את הנפח של מזבח אַפּוֹלוֹ. התושבים פנו לאפלטון בשאלה כיצד לבצע זאת, ואפלטון, בנימוק כי לאורקל יש ללא ספק כוונות מתמטיות ראויות, פירש את הוראת האורקל כבנייה עם סרגל ומחוגה בלבד (תשובה שגם היא אינה מפתיעה, כיוון שאפלטון היה מעוניין בקידום שיטתו הוא). בין כך ובין כך, שאלות שלכאורה אינן פרקטיות הן נחלת המתמטיקאים מאז ועד ימינו.
 
אוּדוֹקסוס, שחי בין 408 ל־355 לפני הספירה, נולד בעיר היוונית קְנִידוּס שבקפריסין ולמד אצל המתמטיקאי אַרכיטַס מבית מדרשו של פיתגורס. הוא נסע ללמוד במצרים, ובשנת 368 לפני הספירה הצטרף לאקדמיה של אפלטון באתונה. תרומותיו רבות ומגוונות. כאן נתרכז בכמה תרומות משמעותיות לפילוסופיה ולפרקטיקה של המתמטיקה. מקורן של שתים מהתרומות שלו הוא בחקר המספרים האי־רציונליים. בתקופה המדוברת היו ידועים כבר גדלים גיאומטריים רבים שאינם ניתנים להבעה כמנה של מספרים שלמים (אפלטון הראה כי השורשים של המספרים הראשוניים עד 17 אינם רציונליים). היום אנו קוראים גם לאלה וגם לאלה מספרים, אך אז לא היה ברור באיזה מובן הגדלים האי־רציונליים הללו הם מספרים. אודוקסוס פיתח תורה מתמטית ולפיה יש הבדל בין מספרים שבעזרתם מונים עצמים בדידים (הקרויים בימינו מספרים טבעיים) ומנות שלהם, ובין מספרים המודדים גדלים גיאומטריים. לשיטתו, יש פרשנות שונה לפעולות האריתמטיות של שתי המערכות. הפרשנות של הפעולות בין הגדלים הגיאומטריים - חיבור, כפל וכדומה - היא גיאומטרית. למשל, המכפלה 2√ ב־3√ מבטאת את שטח המלבן שאורכי צלעותיו הם 2√ ו־3√. לגבי מספרים טבעיים הוא הגדיר מנה של שני מספרים, למשל n חלקי m, כמספר הפעמים ש־m נכנס ב־n, ומכפלת שני מספרים, נאמר n ב־m, מייצגת מנייה של n איברים m פעמים. תוצאה של אבחנות אלה היתה הפרדה בין מקצוע הגיאומטריה ומקצוע האלגברה, או האריתמטיקה, הפרדה שגושרה רק במאה השבע־עשרה על ידי רנֶה דקארט. נשים לב שעד ימינו אנחנו משתמשים במושג הגיאומטרי "ריבוע" כאשר אנחנו מתייחסים למכפלה של מספר בעצמו. הצורך באבחנה בין שני סוגי המספרים הביאה את אודוקסוס להשתמש במושגים שעד ימינו משמשים כאבני יסוד של המתמטיקה: הגדרות ואקסיומות. הוא הגדיר מהו מספר רציונלי, הגדיר מהם נקודה, קו, אורך, וכדומה, וניסח במדויק מספר אקסיומות. זו כנראה אחת הפעמים הראשונות שבהן נעשה ניסיון להציג הגדרות מדויקות ואקסיומות.
הצורך לתת הגדרה מדויקת אינו טבעי. בשיחה בין בני אדם מסתפקים בכך שמגיעים למצב שבו המשתתפים יודעים במה מדובר, ולא "מבזבזים" זמן נוסף על הגדרה מדויקת של נושא הדיון. הקדשת מאמצים להגדיר מהם נקודה, קו, מישור, כאשר לכולם יש הבנה מה העצמים הללו מביעים, נראית מיותרת. פעולת ההגדרה נראתה כנראה מיותרת גם באלפי שנות פיתוח המתמטיקה שקדמה ליוונים, אבל היא לא נראתה מיותרת לאנשי האקדמיה באתונה. מהם ירשה המתמטיקה את הדרך הזו הנהוגה עד ימינו.
תרומה נוספת, טכנית בעיקרה, של אודוקסוס היתה שיטת המיצוי. השיטה היתה בגדר המשך לפיתוח של הפיתגוריים: לאחר שגילו כי מספרים אי־רציונליים אינם ניתנים לביטוי בעזרת מספרים שלמים, הם הראו כי מספרים אלה ניתנים לקירוב על ידי מנות של מספרים טבעיים. אודוקסוס פיתח שיטה לחישוב שטחים הסגורים על ידי עקומים כלליים, למשל עיגול, על ידי כך שמוציאים מתוכם מלבנים או גופים אחרים ששטחם קל לחישוב, וכך עד ש"ממַצים" את כל השטח שצריך לחשבו. כך אפשר לחשב את השטח בקירוב טוב. אודוקסוס היה קרוב מאוד, אך לא הגיע, למושג ה"גבול". זה פותח על ידי ארכימדס שנים רבות לאחר מכן, ומשמש עד היום כבסיס לחשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי. מעבר לתרומה הטכנית הגלומה בשיטת המיצוי, גם כאן, עצם ההצגה והניסוח של שיטה כללית היתה תרומה בפני עצמה.
 
השלישי בגלריה המפוארת של האקדמיה האתונאית היה אריסטו, תלמידו של אפלטון. אריסטו נולד בשנת 384 לפני הספירה, והיה, כמו אפלטון, בן למשפחת אצולה בעיר המקדונית סְטָגִירָה שליד סלוניקי. אביו היה רופא המלך המקדוני אַָמִינְטַס. בגיל צעיר עבר אריסטו לאתונה והיה תלמיד של אפלטון. בערוב ימיו של אפלטון, או אחרי מותו - אין הדבר ברור כל צרכו - עזב אריסטו את אתונה וייסד במקדוניה את האקדמיה המלכותית. עזיבתו היתה כנראה בעקבות חילוקי דעות על הכיוון המדעי של האקדמיה, וייתכן גם כי העובדה שלא הוא מונה למחליפו של אפלטון שיחקה תפקיד בהחלטתו. הוא גם חשש מרדיפות של האתונאים, שראו אותו כבן אויבתם אז, מקדוניה. באקדמיה המלכותית של מקדוניה לימד אריסטו, בין השאר, את אלכסנדר הגדול, מי שהפך לימים לשליט הבולט באזור העתיק כולו. לאחר כשתים־עשרה שנים שב לאתונה, ובה הקים מוסד לימודים משלו, הלִיקֵיאוֹן, שאת שרידיו אפשר לראות גם באתונה של היום. הוא מת בשנת 322 לפני הספירה.
תרומתו העיקרית של אריסטו למחשבה המתמטית החדשה היתה הפיתוח של הלוגיקה כמכשיר לניתוח ולהסקת מסקנות. כללי ההיסק (syllogisms) שניסח משמשים עד היום כבסיס ללוגיקה. לאחר שנים של התרגלות לכללים אלה, ניסוחם נראה פשוט, נכון, וללא אפשרות לערעור. אנחנו נטען כאן כי חלק מהכללים, הגם שבמחשבה מסודרת קל להסכים להם, אינם מתיישבים עם חשיבה אינטואיטיבית ועם שפת הדיבור כפי שהתפתחו באופן טבעי. נדון בכמה מהכללים עתה.
כמקובל, נסמן באותיות, למשל P או Q, פסוק, טענה. לעיתים נשתמש בכתיב מקוצר. לדוגמה, כאשר נכתוב "P גורר Q" נתכוון לפסוק "תמיד, אם P נכון אז בהכרח Q נכון". באותו אופן, נכתוב לפעמים "P" כאשר כוונתנו היא ש־P מתקיים ונכתוב "לא P" כאשר נתכוון כי P לא מתקיים. ("נכון" ו"לא נכון" הם, בשפה היותר שגורה אצלנו ביום־יום, מה שהלוגיקן מתכוון לו במילים "אמיתי" ו"שקרי", True, False).
הכלל האריסטוטלי הראשון נקרא מוֹדוּס פּוֹנֶנְס (Modus Ponens), והוא דוגמה לטענה לוגית אינטואיטיבית שסביר כי היא טבעית למוח כתוצאה מהאבולוציה. זה הכלל:
אם P גורר Q
ואם P מתקיים
אז Q מתקיים.
זהו טיעון מהסוג: אם יורד גשם המדרכה רטובה, יורד עכשיו גשם, ולכן המדרכה רטובה. הטיעון אינטואיטיבי, כי בחיי יום־יום של כל בעל חיים, ויהי נחות ככל שיהיה, ישנם סימנים לקיום יחס כזה. התנהגות פַּבְלוֹבִית היא מהסוג של מודוס פוננס: שמיעת צלצול מסמנת כי האוכל מגיע. מכאן ועד להיסקים מתמטיים מהטיפוס של מודוס פוננס הדרך לא רחוקה, ממש כמו אצל בעלי חיים ובני אנוש בשיגרה שלהם.
ההיסק הבא, מודוס טוֹלֶנְס (Modus Tolens), הוא מטיפוס אחר. זה הכלל:
אם P גורר Q
ואם Q לא מתקיים
אז P לא מתקיים.
זהו טיעון מהסוג: אם יורד גשם המדרכה רטובה, המדרכה לא רטובה, לכן לא יורד גשם. מבחינת ההיגיון המתמטי הטענה נכונה כמו קודמתה. אבל למוח קשה הרבה יותר לעכל אותה. הסיבה לקושי נעוצה באמירה שמאורע כלשהו אינו מתקיים. למוח קל לקבל אינטואיטיבית כי מאורע מתקיים, ולהסיק מכך מסקנות. להסיק באופן אינטואיטיבי מסקנות ממאורע שאינו מתקיים, קשה הרבה יותר. הרבה מאורעות לא מתקיימים, והאבולוציה לא הרגילה את המוח לסרוק את המאורעות שאינם מתקיימים ולהסיק מכך מסקנות.
צריך כמובן להבדיל בין שתי צורות של שלילה שנראות לכאורה שוות. הטענה "המדרכה לא רטובה" מיתרגמת ברמת המחשבה לטענה "המדרכה יבשה", אבל להסיק מהטענה שהמדרכה יבשה כי לא יורד גשם קל יותר מאשר להסיק כי לא יורד גשם מהטענה שהמדרכה לא רטובה. מכאן אפשר לגזור המלצה לכל מי שנושא דברים או מנסה לשכנע: המעֵט בתיאורים המבוססים על "לא".
הקושי בשימוש האינטואיטיבי בכללי ההיסק מוכר לאנשי הלוגיקה, ואלה פיתחו במשך השנים שיטות לאיתור וזיהוי שגיאות הנובעות מקושי זה - אלה נקראות כשלים לוגיים או כשלים היסקיים (syllogistic fallacies). נציג כאן דוגמה אחת, מהרבות הנמצאות בספרות, לכשל נפוץ. מישהו מצהיר:
בן תרבות לא קורא עיתונות צהובה
אני לא קורא עיתונות צהובה
והוא מתכוון בכך לרמוז או להכריז כי הוא בן תרבות. רבים אף יסכימו - באופן אינטואיטיבי - עם מסקנה זו. אך התכונה אינה נובעת באופן לוגי מההצהרות שלו.
הקשר בין שני כללי ההיסק שהדגמנו קודם לבן נעוץ בשני הכללים הבאים שנוסחו גם הם על ידי אריסטו. הראשון נקרא "השלישי הנמנע" (The law of excluded middle):
לכל טענה P, או שהיא נכונה, או שהיא לא נכונה, כלומר או P מתקיימת, או P לא מתקיימת.
הכלל השני הוא כלל הסתירה:
לא ייתכן שטענה היא גם נכונה וגם לא נכונה, כלומר, לא ייתכן גם P וגם לא P.
ההוכחה בדרך השלילה, שעסקנו בה תוך ציון הקושי להבינה באופן אינטואיטיבי, מבוססת על הכללים הללו. רוצים להוכיח P (כלומר, P מתקיים), ומראים שמתוך "לא P" מקבלים סתירה ולכן אפשר להסיק כי P נכון. זה נשמע פשוט, ובניתוח רגוע ומסודר הטיעון אכן פשוט, אבל שימוש אינטואיטיבי בעיקרון זה אינו פשוט כלל ועיקר. איזה יתרון אבולוציוני יהיה לבעל חיים שיפתח אבחנה אינטואיטיבית לעיקרון זה? כפי שנראה בהמשך, כלל השלישי הנמנע ישחק תפקיד מכריע בעיון ביסודות המתמטיקה במאה העשרים.
 
היו לאריסטו תרומות נוספות למתמטיקה, לפיזיקה ולפילוסופיה. נציג כמה מהן מאוחר יותר. כאן נזכיר את עיסוקו במושג האינסוף. המושג לא הופיע כלל בתרבויות המוקדמות יותר. כאשר התייחסו אז למונח אינסוף התכוונו כי האוסף גדול מכדי שנוכל לספור אותו או להכיל אותו. מושג האינסוף הטריד מאוד את היוונים, במיוחד כאשר דנו במבנה הפיזי של העולם: האם היתה התחלה לקיום העולם? האם יהיה קיים עד אינסוף? גם פרדוקס הדִיכוֹטוֹמִיה של זֶנון מהעיר אליאה, תלמידו של פַּרְמֶנִידס, מתייחס בעקיפין לאינסוף. נחזור לפרדוקס הזה בפרק 51, וכאן רק נזכיר שלפי הפרדוקס אדם ההולך למקום מסוים לא יגיע אליו לעולם, כי ראשית עליו לעבור את מחצית המרחק, לאחר מכן מחצית מן החצי הזה, עוד מחצית מהמרחק שנשאר, וכך הלאה אינסוף צעדים, כך שלעולם לא יגיע למטרתו. בעקבות הפרדוקס ושאלות פילוסופיות אחרות פיתח אריסטו תורת אינסוף שבמרכזה ההבחנה בין אינסוף פוטנציאלי ובין אינסוף אקטואלי, שהוא אוסף אינסופי. לדוגמה, המספרים הראשוניים הם אינסוף פוטנציאלי כי אפשר לזהות אוספים גדלים והולכים של מספרים ראשוניים. בשפת יום־יום אנו אומרים כי יש אינסוף מספרים ראשוניים, אבל לפי אריסטו, במתמטיקה אי־אפשר להתייחס לקבוצת המספרים הראשוניים כאל אובייקט מתמטי. בהכללה, אפשר להתייחס לאינסוף פוטנציאלי של עצמים, כלומר לאוספים הולכים וגדלים "עד אינסוף" של עצמים, אלא שאוסף אינסופי של עצמים אינו מושג מתמטי קביל לפי אריסטו. כפי שנראה בהמשך, הבחנה זו קנתה אחיזה במתמטיקה לאורך שנים רבות, ועיון מחדש במושגים אלה התחדש במתמטיקה של המאות התשע־עשרה והעשרים.
 
הסיכום של התרומות של המתמטיקה היוונית מהתקופה הקלסית ניתן על ידי אוקלידס. לא הרבה ידוע על חייו. הוא פעל בסביבות שנת 300 לפני הספירה, וייתכן כי למד באקדמיה האתונאית, אך רוב פועלו היה בעיר אלכסנדריה שבמצרים. הוא היה ממקימי המרכז האקדמי המפורסם בעיר זו. מנקודת מבט כרונולוגית הוא פעל בתקופה שלאחר התקופה הקלסית, אך פועלו הידוע במתמטיקה, ספרו יסודות (Elements), שהכיל במקור שלושה־עשר כרכים, סיכם בצורה מסודרת ומורחבת את הידע המתמטי שהתפתח ביוון הקלסית. יתר על כן, הספר ערך, ביסס והפיץ את הגישה החדשנית שהתפתחה בתקופה זו. מעבר לאיסוף מרשים של מימצאים מתמטיים, הפיתוח נשען על הגדרות, על אקסיומות, על הוכחות דדוקטיביות ועל כללי היסק מוגדרים. אין בידינו עותקים של הספר שנכתבו בתקופת אוקלידס עצמו. כל הגירסאות שנמצאו - המוקדמות ביותר הן מהמאה הראשונה לספירה, כלומר כ־400 שנה אחרי אוקלידס וגם אלה חלקיות בלבד - מכילות הערות, השלמות ותוספות של מעתיקי הספר. גירסאות מלאות מתוארכות רק מהמאה התשיעית לספירה. אך מן ההשוואות בין הגירסאות השונות ניתן להסיק, כי היה זה אוקלידס עצמו שסידר וערך את הספר לפי הנושאים השונים, נתן את ההגדרות, ביסס את דרכי ההוכחה, ומִסֵּד את הגישה כולה. לא לחינם הפך היסודות לאחד הספרים הנפוצים ביותר בעולם מאז ועד עתה, ותורגם כנראה למספר השפות הרב ביותר אחרי התנ"ך.
 
8. מה הניע את היוונים?
מה הביא את היוונים לשאול שאלות שתכליתן לא ברורה, ולנסות לענות עליהן בשיטות לא אינטואיטיביות?
סיבה אחת המוזכרת בספרות היא טכנית: היוונים מצאו שגיאות וסתירות בחישובים שונים אצל הבבלים והמצרים, וכדי ליישב אותן פיתחו מתמטיקה מדויקת יותר. אני לא משתכנע כי זו הסיבה. אם אתה מתלבט בין הנכונות של שני חישובים שונים, או מפקפק ביחס לדיוק של חישוב שנתקלת בו, סביר שתנסה לחשב בעצמך באופן מדויק יותר, כדי להגיע לתוצאה הנכונה. מה גם שהיוונים היו מודעים לכך שבתחומים רבים החישובים של הבבלים ושל המצרים היו מדויקים יותר מאשר החישובים שלהם עצמם.
השערה יותר מתקבלת על הדעת נעוצה במצב הפוליטי והכלכלי שיוון העתיקה היתה נתונה בו. אומנם היתה זו תקופה של מלחמות רבות, בין ערים ובין ממלכות קטנות שונות, אבל ככלל, התפיסה הדמוקרטית שלטה, והפילוסופיה הפוליטית והחברתית היתה מפותחת מאוד. באווירה שלעיון הפילוסופי יש חשיבות, כאשר אין שליט יחיד או ממשלה הדורשת מנתיניה להגיע להישגים מיידיים, כאשר אין ועדות ממונות על ידי ממשלה הקובעות עדיפויות במחקר, באווירה שבה מותר לשאול ולפקפק בכל דבר, ובה מחקר המוּנע על ידי סקרנות הוא מקצוע מוערך - אפשר להגיע להישגים כבירים אפילו אם הזמן שלוקח להפיק מהם תועלת הוא רב מאוד. נוסיף לזאת את העובדה שהתורמים העיקריים להתפתחויות המחקריות באו ממשפחות מבוססות ופעלו ללא בעיות פרנסה וקיום, מה שעזר להם כמובן לקדם כיוונים לא שגרתיים. תנאים אלה מסבירים כיצד התפתח מחקר בסיסי, אבל הם לא מסבירים מדוע הוא התפתח גם לכיוונים לא אינטואיטיביים ובניגוד למה שהאבולוציה אמורה לכוון אליו.
הסבר מתועד לכיוון שאליו הובילו היוונים נעוץ במה שקרוי אשליות. נרחיב בדבר, כיוון שלשיקולים מסוג זה תהיה משמעות גם בפרקים הבאים. היוונים היו מודעים לאשליות גיאומטריות, או אופטיות, ולכן ניסו להוכיח טענות מתמטיות בלי להסתמך על מראה עיניים בלבד, כלומר הם הרשו להסתמך רק על אקסיומות וטיעונים לוגיים. נציג שתי אשליות מפורסמות מתקופה מאוחרת יותר.
הראשונה קרויה אשליית מוּלֶר־לַיֵיר (Müller-Lyer), על שם המדען שהציג אותה בשנת 1889. באיור הבא, הקו העליון האופקי נראה קטן יותר לעין, למרות שלשני הקווים אורך שווה. ההסבר המקובל לתופעה הוא שבדרך כלל, בטבע, אנחנו רואים צורה הדומה לקו העליון ממבט מבחוץ: למשל, מבט מקרוב על צלע של קובייה תלת־ממדית; בעוד בקו התחתון אנחנו נפגשים בצד המרוחק של קובייה, ממבט מבפנים. המוח "מתקן", באופן שאינו נשלט, את האותות שהעין מקבלת, מקצר את הקו העליון ומאריך את התחתון, זאת כדי לקבל את האורך "הנכון".

 
הסיבה לכך נעוצה באבולוציה. לפרשנות המתקנת של האותות היה יתרון אבולוציוני, והיא טבועה בגנים. לכן אין אפשרות לשנות את הדרך שבה המוח מנתח את האינפורמציה. על ידי הפניית העין רק לקווים האופקיים ייתכן שנצליח לגרום למוח לראות כי הקווים שווי־אורך במצג מסוים, כמו באיור. אבל לא נצליח לתקן זאת לגבי קווים שיופיעו במצבים דומים ושהמוח מנתח אותם באופן ספונטני. יתר על כן, לא רצוי לגרום למוח לפענח בדרך אחרת את מה שהעין רואה, כיוון שאם נשנה את הדרך שבה המוח מנתח את הנתונים ניצור טעויות בכל המקרים הרבים שבהם הקו העליון אכן קצר יותר.
דוגמה שנייה היא אשליית פוגֶנדוֹרְף (Poggendorff), שהוצגה בשנת 1860. למסתכל לא מאומן באיור הבא, אין שני הקווים האלכסוניים נראים כנמצאים על קו ישר אחד. אבל בדיקה פשוטה תראה שאכן הם נמצאים על קו אחד. גם במקרה הזה יש הסבר לעובדה שהמוח מוביל ל"טעות". המוח התפתח כך שהוא משווה זוויות, לא קווים. הזוויות הנוצרות בין הקווים האלכסוניים והאנכיים מובילות את המוח ליצירת האשליה. כאן היא לא בגלל תיקון שהמוח מבצע לנתונים שמתקבלים, כלומר תיקון ל"תוכנה", אלא בגלל ה"חומרה" שבה המוח משתמש: האמצעי שבו המוח מסתכל על הגיאומטריה בעולם מביא לטעות. גם כאן אפשר לאמן את המוח להתגבר על הטעות במקרים ספציפיים, אך אין אפשרות לבצע תיקון שימנע את כל הטעויות מסוג זה.

 
אשליות כאלה העסיקו את האמנים והמהנדסים לדורותיהם, והם השתמשו בידיעה שלהם כדי להרשים את המתבונן באפקטים ויזואליים. חברי המתמטיקאי אָריגוֹ צֶ'לינָה (Cellina), בן העיר מילנו, הסב את תשומת ליבי לאולם שבכנסיית סן סַטירוֹ. הכנסייה נמצאת ברחוב טורינו מטרים ספורים מן הכיכר המרכזית של מילנו, כיכר הקתדרלה. הכנסייה נבנתה במאה החמש־עשרה. העומדים בפתח רואים לפניהם את האולם המרכזי, את מקומו של הכומר, או של המטיף, ומאחוריו אולם עמוק וגדול שתקרתו עטורה בציורים מעניינים. אבל אם תתקרבו למקום שבו עומד הכומר תראו שכל האולם שמאחוריו, על עומקו ותקרתו העטורה, הם אשליה אופטית מעניינת מאוד. מומלץ.
האפשרות לטעות של ראייה, לאשליה ויזואלית, העסיקה את היוונים במידה שהביאה אותם עד קיצוניות. כדי שלא להסתמך על מראה עיניים הם היו, למשל בהוכחות מתמטיות העוסקות במשולשים, מציירים לעיתים את המשולשים כך שצלעותיהם אינן קווים ישרים אלא קווים עקומים. המטרה היתה להסתמך על האקסיומות בלבד ולהימנע ככל האפשר מטעויות הנגרמות על ידי הראייה. אלא שאפילו היוונים לא יכלו להימנע מלהתייחס לרישום כלשהו. הציור, לכאורה, אינו רלבנטי כאשר מדובר בהוכחה דדוקטיבית המסתמכת רק על אקסיומות. אך כנראה המוח לא יכול לדון באקסיומות מופשטות ללא מטאפורה, או התייחסות למודל, או לניסיון מוקדם. תכונה זו - או אולי מגבלה זו - של המוח חוזרת ועולה כל פעם שהמתמטיקה המופשטת משמשת לתיאור של גיאומטריה או של תופעות טבע. בתיאור מתמטי של הטבע, כפי שנראה בפרקים הבאים, אף על פי שהמתמטיקה עומדת בפני עצמה ואינה באמת זקוקה למודל ויזואלי, המוח זקוק למודל או למטאפורה, כדי שיהיה מסוגל לנתח ולעכל את המתמטיקה.

צבי ארטשטיין

צבי ארטשטיין הוא פרופסור למתמטיקה במכון ויצמן למדע. תרומותיו למחקר הן במגוון שטחים של האנליזה המתמטית ושימושיה השונים. עיסוקיו וניסיונו כוללים גם ניהול מדעי, העברת טכנולוגיה מהמדע הבסיסי לתעשייה, והוראה.

הקשר המתמטי צבי ארטשטיין

I
אבולוציה, מתמטיקה, והאבולוציה של המתמטיקה
 
הייתכן כי האבולוציה השפיעה על המתמטיקה? • האם סוסים יודעים לחשב? • האם חולדות יודעות לספור? • האם תינוקות פותרים תרגילי חיבור וחיסור? • אילו מלבנים משמחים אותנו? • מדוע ליצנים מפחידים? • מהו צבע הכבשים באירלנד? • איך להמשיך את הסידרה 4, 14, 23, 34, 42, 50, 59, ...? • מדוע לרבע את המעגל? • מה התרומה של אשליות אופטיות למדע?
 
1. אבולוציה
תורת האבולוציה מזוהה עם צ'רלס דרווין, אבל טעות לחשוב שדרווין המציא את מושג האבולוציה. כבר נאמר בקהלת פרק א פסוק ט, "אֵין כָּל חָדָשׁ תַּחַת הַשָּׁמֶשׁ", ומובן שאמירה פילוסופית זו נכתבה בתגובה לעובדה הברורה שהעולם שמסביבנו נתון לשינויים מתמידים. בכל זמן נתון אנו רואים תמונת מצב עכשווית של הסובב אותנו, אך אנו גם עוקבים אחרי שינויים המתרחשים בתקופת חיינו ומודעים גם לשינויים המתרחשים בטווחי זמן שאיננו יכולים לעקוב אחריהם ישירות. מן העדויות אודות שינויים שהתרחשו בעבר אפשר פעמים רבות להסיק מה גרם להיווצרותם. הדברים אמורים הן בעולם הפיזי שמסביבנו - סלעים, חי, צומח - והן בעולם החברתי - דרכי התנהגות, אופנה, ספרות - ובשיטות רפואה, בטכנולוגיה וכדומה. להתפתחויות יש מנגנון משלהן. לפעמים ברור מה שׂורד, מה משתנה, ומה נכחד. לפעמים המנגנון לא קל לזיהוי.
קחו למשל את פני השטח הגיאוגרפי. ישנם סלעים שנשארים עומדים שנים רבות, אחרים נעלמים לנגד עינינו ברוח. מה גורם להבדל? ברור שהמרקם של הסלע הוא זה שגורם להבדלים "בכושר ההישרדות" שבין סוגי סלע שונים. סלע בזלת נשאר, סלע הבנוי מאבן גיר מתפורר. לא תראו דיונות בראשי הרים, כי הן תיסחפנה ברוח. אפשר לומר שהחזק מנצח, המתאים שורד. אנחנו יכולים להסיק כי לתכונה "עשוי בזלת" יש יתרון במאבק ההישרדות בראש הר. זו אמירה טריוויאלית בעולם הסלעים, ובדרך כלל אנחנו לא בוחנים סלעים במונחים של תחרות על הישרדות. אבל האבחנה כי המתאים יותר לסביבה שורד היא אבחנה נכונה בעולם הסלעים כמו בעולם של חברות אנושיות. היסטוריונים, בתארם את מהלך ההיסטוריה האנושית, מנסים להבין מדוע חברה מסוימת שרדה ואחרת נכחדה. אבחנות אלה מנוסחות בדרך כלל במונחים של יתרונות שהיו לחברה המנצחת על פני המנוצחים. מהתכונות של חברה או של מין אפשר ללמוד על התנאים שבהם החברה, או המין, התפתחו. באותה מידה, מהתנאים שבהם מין מסוים התפתח אפשר להסיק מהם היתרונות שהביאו אותו לנצח במאבק ההישרדות.
תרומתו הגדולה של דרווין לתורת האבולוציה היתה זיהוי המנגנון לפיו מיני חיות ומיני צמחים משתנים ומתפתחים. שלא כמו לָמָארְק (Lamarck) שטען כי כל מין מסגל את עצמו לסביבה שבה הוא חי והתכונות הנרכשות הללו עוברות אז בתורשה, דרווין הצביע על מנגנון אחר לשינויים שכל מין עובר: הוא מורכב משני אלמנטים מרכזיים - מוטציה וסלקציה. בתהליך ההִתרבות, הפרטים הנולדים עוברים מוטציות הגורמות לשינויים אקראיים, ומזעריים בדרך כלל, בתכונות של פרטים אלה. הפרטים בעלי התכונות המתאימות ביותר מתרבים בקצב המהיר ביותר, וזו הסלקציה אשר גורמת לכך שהדורות הבאים של כל מין יתפתחו לכיווּן המתאים לתנאי הסביבה. המינים המתאימים ביותר בין אלה המתחרים על אותם מקורות מחיה, הם השורדים.
 
צ'רלס רוברט דרווין (1809-1882) נולד בעיר שְרוּזבֵּרי שבאנגליה למשפחה מבוססת. אביו היה רופא קהילה אמיד. סבו, אֶרַסמוּס דרווין, שנפטר לפני שצ'רלס נולד אך כתביו היו ברשות צ'רלס, היה פילוסוף ומדען טבע שדגל בתורת האבולוציה של למארק (1744-1809). צ'רלס הצעיר היה חשוף לעשייה מדעית אבל לא היה תלמיד שקדן במיוחד. במקום להשקיע בלימודים ניצל את זמנו לטיולים בטבע ולאיסוף פרטי טבע שונים. בגיל 23 ניצל הזדמנות שנקרתה לו להצטרף כמדען למשלחת באוניית המסע בִּיגְל, שמשימתה העיקרית היתה למפות את חופי אוסטרליה ודרום אמריקה עבור ממלכת בריטניה הגדולה. משימתו שלו היתה איסוף ומיון של פרטים גיאולוגיים, זואולוגיים ובוטניים. תוך כדי המסע הוא שם לב לתופעות של קיום מינים שונים אך דומים המתגוררים בחבלי ארץ קרובים, בעיקר באיי גָלָפָּגוֹס, שם עלה במוחו רעיון המודל האבולוציוני הכולל את המוטציות והסלקציה. ראוי לציין כי בפיתוח תורת האבולוציה של מיני החי והצומח הושפע דרווין עמוקות מתורתו של הפילוסוף המדיני תומאס מַלְתוּס (Malthus), שחי חצי מאה לפניו, על התפתחויות דמוגרפיות וכלכליות של חברות אנושיות. האוטוביוגרפיה שכתב דרווין מלמדת על כך שהיה אדם צנוע וחכם, והיא רצופה אמרות המצביעות על הבנה עמוקה של אבולוציה, מעבר לטכניקה שגילה. למשל, בהתייחסו לעמיתו המבוגר ליאונרד גֶ'נִינס (Jenyns), שעימו ניהל שיחות רבות על הטבע, דרווין אומר "בתחילה סלדתי ממנו משום שהיה בעל הבעה קודרת ורוחשת בוז במידת מה, ורושם ראשוני אינו אובד בקלות, אבל התברר שטעיתי בו לחלוטין". את הקשר שבין הביטוי "רושם ראשוני אינו אובד בקלות" לבין האבולוציה עוד נראה מאוחר יותר.
אף על פי שאת מחשבותיו על האבולוציה והראָיות הרבות שמצא לתורתו חלק עם חבריו המדענים, וביניהם מן הידועים והמפורסמים שבמדעני בריטניה אז, הוא היסס לפרסם את מימצאיו ברבים. את תורתו הסכים לפרסם רק אחרי שאלפרד וָאלָאס (Wallace), מדען צעיר שהיה בעצמו חוקר טבע וערך מסעות חקר רבים בדרום אמריקה ובמזרח הרחוק, שלח לפרסום מאמר שכלל רעיונות זהים לאלה של דרווין, אם כי עם ביסוס מינימלי בלבד. הדבר נודע לחבריו של דרווין והם דחקו בו לפרסם את תוצאות מחקריו, וכך זכינו בספר "מוצא המינים". כתוצאה מכך, בדיווח הרשמי הראשון על התורה הוצגו במקביל המאמר של ואלאס והתורה של דרווין.
ההיסוס רב־השנים של דרווין בפרסום מסקנותיו נגרם מסיבות שונות. חלקן נבע מהתנגשות אפשרית עם האמונה הדתית המייחסת לבריאה את קיום המינים השונים. אשתו של דרווין, אֶמָה וֶודג'ווּד, היתה בעלת אמונה דתית עמוקה ודרווין לא רצה לפגוע בה. אבל סיבה לא פחות חשובה להיסוסיו בפרסום מנגנון האבולוציה שמצא היתה, כי למרות מכלול הראיות שהיו בידיו על התרחשות האבולוציה, קטעים רבים של התורה היו עדיין ללא ראָיה או ביסוס מדעי. בפרט לא יכול היה דרווין להציג מנגנון ביולוגי הגורם להתרחשות המוטציות. המנגנון הזה זוהה רק במחצית השנייה של המאה העשרים כאשר התגלו הגֶנים שבמולקולת הדנ"א, אשר תוך כדי השתכפלותה מתרחשות מוטציות מקריות.
 
מוטציות וסלקציה של גנים הם הבסיס להבנה המודרנית של תהליך האבולוציה בעולם החי והצומח. הגנים הם הנושאים את התכונות החשובות להישרדות ולהתפתחות של כל מין. מכלול הגנים ודרכי הביטוי שלהם בסביבת המחיה של המין מגדירים את תכונותיו. השינויים בגנים הם האחראים לשינויים במין. אבל גם בלי לעקוב אחרי הגנים עצמם, מן ההיכרות של התנאים שבהם התפתח, שרד וניצח מין, אפשר ללמוד על התכונות המקודדות בגנים שלו, אלו העוברות מדור לדור. גם הכיוון השני של הטענה נכון: מן התכונות שאפשר לצפות בהן ברגע נתון אפשר ללמוד על התנאים שבהם התפתח כל מין.
הנה דוגמה לדרך שבה אפשר ללמוד על הקשר שבין תנאי התפתחות של מינים לתכונותיהם היום. הדוגמה היא מתוך סיור שערכתי לפני מספר שנים באיי גָלָפָּגוֹס, והיא מתייחסת למנהגי חיזור של ציפורים.

 
קוֹרְמוֹרָן הסלעים בתמונה הימנית לא יודע לעוף. הוא חי על סלעים חשופים ליד הים, הנתונים תחת רוח חזקה. היכולת למצוא זרדים ולבנות קן ראוי חשובה ביותר להישרדות המין בתנאים קשים אלה. בתהליך החיזור מַדגים הקורמורן לבת זוגו המיועדת את יכולתו לקושש זרדים לבניית הקן המשותף. הכלה לעתיד תיענה לבן הזוג רק אם ידגים את יכולותיו אלה. הדוגמה השנייה היא הפְרִיגָטָה (Frigatebird) בתמונה האמצעית. בתהליך החיזור הזכר מנפח את הזפק שלו לכדי בלון ענק באדום בולט, וזאת כדי להראות לבת הזוג המיועדת כי ריאותיו חזקות והוא יוכל לעוף למרחק כדי לשלות דגים. ובדוגמה שמשמאל, הציפור הזכר מדגים בתהליך החיזור יתרונות אחרים לגמרי. הטיפש בעל הרגל הכחולה (Blue footed booby) הוא מין של ציפור בו הזכר דוגר על הביצים ומגן עליהן על ידי כיסויָין בכף רגלו הגדולה והכחולה. לכן מנסה הזכר למשוך את ליבה של זוגתו העתידית על ידי כך שהוא מציג לפניה את כפות רגליו הרחבות והשלמות, וכך מבטיח שיוכל לשמור על הביצים המשותפות שלהם מפני אויבים ומפני מזג אוויר הפכפך.
אלה דוגמאות לכך שהתכונות והמנהגים שאנו מזהים היום מצביעים על התכונות בעלות החשיבות האבולוציונית, וכך אנו למדים איך שרד כל מין ומין את המאבק האבולוציוני.
התכונות העיקריות שעזרו לאוכלוסייה מסוימת לנצח במאבק ההישרדות בזמן התהוות המינים נצרבו בגנים של המין ונוכל לזהותם כתכונות מוּלדות. המהירות של הצ'יטה, הראייה הפנומנלית של העיט, יכולת הטיפוס על עצים של החתול, כל אלה הן תכונות מולדות. גור הצ'יטה נולד עם האפשרות והידע הבסיסיים לרוץ מהר. הגור זקוק יהיה לעזרה של ההורים כדי ללמוד ממה לפחוֹד, איך לצוד, ואפילו כיצד לרוץ ביעילות, אבל התכונות הבסיסיות של הריצה והצַיִד טבועות בגנים שלו. באותה מידה מכילים הגנים של החתול את האפשרות ללמוד לתפוס עכברים, ובין התכונות המולדות של העיט נמצאת יכולת הראייה והזיהוי של טרף אפשרי במרחקים. הלימוד הוא רק עידון ושיפור של התכונה המולדת. מן התכונות של כל מין אפשר ללמוד על התנאים שבהם התפתח המין, ולחילופין, מהכרת התנאים שבהם התפתח המין אפשר ללמוד על התכונות שהתפתחו אצלו.
הדעת נותנת כי באותה מידה שבה תכונות גופניות של מיני בעלי חיים הן תכונות מולדות המקודדות בגנים שלהם, גם חלק מהתכונות המנטליות מקודדות כבר בגנים של בעלי החיים למיניהם, ואינן רק תוצאה של השפעת הסביבה או תוצר לוואי של התפתחות אחרת. הרי יכולות מנטליות וחברתיות משחקות גם הן תפקיד במאבק ההישרדות, ולכן תהליך הסלקציה מעצים את התכונות העוזרות למין לגבור על יריביו. ובפרט, גם תכונות מנטליות ניתנות לשינויים ולשיפורים על ידי מוטציות בתהליך ההתרבות. בפרקים הבאים נבחן את היכולת המתמטית של המין האנושי מנקודת מבטה של האבולוציה. נשאל, האם הכושר להבין ולהשתמש במתמטיקה הוא תוצאה של התפתחות אבולוציונית, או אולי הוא תוצר לוואי של מוח שהתפתח לצרכים אחרים.
 
2. יכולת מתמטית בעולם החי
אם יכולת מתמטית שיחקה תפקיד במאבק האבולוציוני שהביא את המין האנושי למקום שהוא תופס בין שאר המינים, ניתן לשער שגם מיני בעלי חיים אחרים יהיו בעלי יכולת מתמטית במידה מסוימת. אך מה הכוונה בביטוי "יכולת מתמטית"? למתמטיקה קשת רחבה ומגוּונת של נושאים ושיטות מחשבתיות. השאלה הנכונה, אם כך, היא: מהם אותם נושאים של המתמטיקה שהיה בהם יתרון אבולוציוני? ושאלה נוספת היא, כיצד נדע לזהות את היכולת המתמטית הזו אצל בעלי חיים?
האלמנט המתמטי הפשוט ביותר הוא מנִיָיה. אחריו באות ההבנה של מושג המספר כאובייקט מופשט, והיכולת לבצע פעולות אריתמטיות פשוטות כמו חיבור וחיסור. נדון תחילה בהופעת אלמנטים פשוטים אלה בחיות בוגרות. אמא חתולה מעבירה את גוריה ממקום למקום ובדרך כלל אינה שוכחת גור או שניים, וכאשר מושלמת העברת הגורים היא לא חוזרת, בדרך כלל, לחפש האם כל הגורים הועברו. ייתכן שהיא זוכרת אותם אחד אחד, אבל מתקבל על הדעת שיש לאמא חתולה גם חוש של כמות. לאינסטינקט של הערכת כמות יש באופן ברור יתרון אבולוציוני, כך שאיננו צריכים להתפלא כי לחיות בוגרות יש את היכולת להעריך כמויות. אבל האם יכולת זו מגיעה לכדי יכולת מנייה ולאפשרות של מניפולציות אריתמטיות?
לפני שנציג כמה דוגמאות משכנעות לכך שלכמה וכמה מינים של בעלי חיים יש יכולות אריתמטיות צריך להקדים אזהרה. דרושה זהירות רבה בפרשנות של ניסויים בכלל, ובחיות בפרט. מקרה מפורסם הוא מקרה "הַנְס החכם" (Clever Hans). לקראת סוף המאה התשע־עשרה הופיע במסע הצגות בגרמניה סוס שזכה לכינוי הנס החכם, עם מאמנו וילהלם פון אוֹסטֶן (von Osten). הסוס הראה יכולות יוצאות דופן בחיבור וחיסור מספרים, וכן בפעולות של העלאה בריבוע, חילוק פשוט וכיוצא באלה, הכול בהצלחה גבוהה מאוד. הסוס טעה מדי פעם, אבל טעויות אלה קרו בתדירות נמוכה. השיטה שבה הראה הסוס את יכולותיו היתה זו: כשהקריאו או רשמו על לוח תרגיל מסוים, הסוס היה רוקע בפרסתו מספר פעמים כמספר הנותן את התשובה הנכונה. העניין נראה כסתם רמאות, שבה מצליח המאמן להעביר לסוס בצורה זו אחרת את התשובה הנכונה. אבל ועדה רשמית בראשות פסיכולוג בשם קרל שְטוּמפּף (Stumpf), שכללה גם את מנהל גן החיות בברלין ושבדקה בין השאר את היכולת של הסוס לפתור תרגילים ללא נוכחות המאמן, מצאה שהמאמן לא מרמה, והסוס אכן יודע את התשובה הנכונה. המסקנה היתה, כי ישנם בעלי חיים עם יכולת מתמטית מתקדמת למדי. והנה, בדיקות מדוקדקות יותר בשנת 1907, על ידי פסיכולוג אחר בשם אוסקר פְּפוּנגסְט (Pfungst), הראו שהסוס לא ידע מתמטיקה. המאמן היה אמין וישר, אלא שהסוס ידע להבחין בהבעות פנים ובהבעות רגשות לא רצוניות של המאמן, ושל הקהל במקרים שבהם המאמן לא היה נוכח. מהבעות אלה הסיק הסוס מתי הגיע מספר הרקיעות לתשובה הנכונה. נוכחות הקהל או המאמן היו קריטיות. הוועדה מצאה שכאשר המאמן עטה על פניו הבעה של מתח גם כאשר התשובה אינה נכונה, הסוס היה עונה לפי ההבעה, ולא את התשובה הנכונה. השיטות שפיתח פונגסט בעקבות מקרה זה מוכרות היום כאבן דרך במחקר הפסיכולוגי.
ניסויים מדעיים מבוססים יותר הצליחו להראות שקיימות יכולות מתמטיות אצל בעלי חיים. הזואולוג הגרמני אוטו קוֹלֶר (Koehler, 1889-1974) הראה כבר בשנות השלושים של המאה הקודמת כי למיני ציפורים שונים יש יכולת לזהות אוסף עם מספר נתון מראש של עצמים. הסתבר כי לא קשה לאמן יונה שכאשר יציגו לפניה שורה של גרעינים תבחר כל גרעין שלישי. אפשר לאמן סנאי לכך שכאשר מציעים לו מספר קופסאות עם אגוזים יבחר את הקופסה שבה בדיוק חמישה אגוזים. יש גבול מספרי לכושר הזיהוי של בעלי חיים אלה. כבר קולר עצמו מצא כי אפילו החיות המוכשרות ביותר אינן מצליחות לזהות אוספים עם יותר מאשר שבעה עצמים. המספר שבע מופיע בספרות המדעית כחסם על כמות האינפורמציה שהמוח האנושי מסוגל לעבד ועוד ניתקל בו בהקשרים דומים. עדיין, הערכת כמויות מראה על כושר מתמטי, אבל היא לא מעידה על מנייה או על תפיסה מופשטת של מושג המספר.
ידוע כי לעורבים בוגרים יש, בגבולות מסוימים, יכולת מנייה. מניחים אוכל טעים לעורב ליד מבנה סגור. מהר מאוד לומד העורב כי ניסיון להתקרב לאוכל כאשר מישהו נמצא בבניין הוא מסוכן עבורו. העורב לא יכול לראות האם הבית ריק או לא, אבל הוא כן יכול להבחין כאשר מישהו נכנס או יוצא מן המבנה. בספרות הפופולרית (ללא בקרה מדעית, צריך להיאמר) דוּוח על מקרים שבהם נותנים למספר אנשים להיכנס לבית, אחד אחרי השני. כל זמן שהם שוהים בבניין, העורב אינו מתקרב. אז מבקשים מאלה הנמצאים בבניין לצאת אחד אחרי השני. בדייקנות מפתיעה מזהה העורב מתי יצאו כל הנכנסים ורק אז הוא מתקרב לבניין. יש כמובן גבול ליכולת הדיוק של העורב, כמו שישנו גבול גם ליכולת הספירה של בני האדם. עורבים הצליחו לספור בצורה כזו עד חמישה או שישה אנשים, בדיוק רב.
היכולת שהפגינו העורבים בדוגמה שלנו מתיישבת עם יתרון אבולוציוני. היכולת למנות היא ללא ספק יתרון במאבק ההישרדות. אבל מקור היכולת הזו אינו ברור. אחרי הכל, כמה פעמים באבולוציה של העורבים הם נתקלו במצב שבו יש למנות בעלי חיים מסוכנים הנכנסים ויוצאים מבניין? בפרט, לא ברור אם הספירה לכאורה היא ספירה במובן מתמטי. כלומר, האם לעורב, בצורה מודעת או לא, יש יכולת להבין או לייצג את מספר הנכנסים לבניין, או אולי הוא פשוט זוכר מי נכנס ומי יצא?
יכולות מתמטיות גבוהות יותר של מנייה והשוואה התגלו אצל קופים. גַיי ווּדרַאף (Woodruff) ודייויד פּרִמָאק (Premack) מאוניברסיטת פנסילבניה, הראו (התוצאות פורסמו בשנת 1981) לקוף שימפנזה כוס מלאה וכוס מלאה למחצה, ואימנו אותו לבחור תמיד את זו המלאה למחצה. כאשר לאחר מכן הציעו לאותו קוף לבחור בין תפוח שלם ובין חצי תפוח בחר הקוף בחצי התפוח. כלומר, הקוף הכליל את העיקרון המתמטי מכוס המים לתפוח. באופן דומה הביאו את הקוף להראות יכולות אריתמטיות פשוטות, כמו לזהות שחיבור של חצי תפוח ורבע תפוח הם שלושת רבעי תפוח. בניסוי אחר נתנו לקוף לבחור בין שני מגשים. באחד היו קוביות שוקולד מסודרות בשתי ערמות, האחת בת ארבע קוביות והשנייה בת שלוש קוביות. במגש השני קוביות השוקולד היו מסודרות בערמה של חמש קוביות ועוד קובייה בודדת. הקוף בחר, ברוב המקרים, במגש בו סכום קוביות השוקולד גבוה יותר. עדיין אין בכך עדות לתפיסה מופשטת של מספרים או של חיבור בין מספרים, אבל אלה עדויות ליכולות מתמטיות. אין הדבר מפתיע, כיוון שליכולות אלה יתרונות אבולוציוניים.
ניסוי אחר בחיות מעיד על כך שמושג המספר בצורה מופשטת אכן קיים, במובן מסוים, אצל בעלי חיים, ואפילו בין הפחות מפותחים ביניהם. ראסל צֶ'רץ (Church) ועמיתו ווֹרֶן מֶק (Meck) מאוניברסיטת בראון (המחקר פורסם בשנת 1984) ביצעו את הניסוי הבא. לא קשה לאמן חולדות לכך שכאשר הן שומעות שני צפצופים, אחד אחרי השני, מוגש להן מאכל טעים שממנו הן יכולות לשׂבוע. בדומה לכך, אם הן רואות שני הבזקי אור, אחד אחרי השני, הן יכולות לטעום מהמאכל ללא פגע. אימנו אותן גם לכך שכאשר הן שומעות ארבעה צפצופים, או רואות ארבעה הבזקי אור, מסוכן לטעום מהמאכל, כיוון שאז יבוא שוֹק חשמלי. אותות השמיעה והראייה, כלומר צפצוף או הבזק, מגיעים ומעובדים במוח דרך שני ערוצים נפרדים, ערוץ הראייה וערוץ השמיעה. החולדות הגיעו לרמה גבוהה של תגובה נכונה, כלומר, לגשת לאוכל אם שומעים שני צפצופים או רואים שני הבזקים, ולהימנע מלגשת לאוכל אם רואים ארבעה הבזקים או שומעים ארבעה צפצופים. במצב זה, כאשר החולדות מאומנות דיין, השמיעו לחולדות שני צפצופים ומייד לאחריהם הראו שני הבזקי אור. מה היתה התגובה? האם החולדות פירשו את האותות הללו כהזמנה כפולה ומחוזקת לגשת לאוכל הטעים, או פירשו את האותות כאזהרה בת ארבעה אותות מפני הסכנה בגישה לאוכל? אם התופעה השנייה היא המתרחשת, אפשר להניח כי החולדות מזהות את המספר ארבע כמושג עצמאי, גם כשהוא מורכב משני אותות מסוג אחד ושני אותות מסוג אחר. התשובה: החולדות, באופן מובהק, מזהות את המספר ארבע ונמנעות מלגשת לאוכל הטעים כאשר מספר האותות הוא ארבע, אפילו כאשר האותות מגיעים בערוצים הנפרדים.
 
הניסוי עם החולדות עדיין לא מצביע על יכולת אריתמטית אצל חיות אלו. הוא גם לא מוכיח בוודאות שהתכונה של מנייה מופשטת כזו היא תכונה מולדת, כלומר נטועה בגנים של החיה, ואינה, אולי, תוצר של אימון שהתאפשר עקב התפתחות המוח לצרכים אחרים. אבל יש מקום לשער שהיכולת הזו היא מולדת. הסיבה העיקרית לכך היא היתרון האבולוציוני שהיכולות למנות ולהכיר את מושג המספר נותנות לחיה. כדי להשתכנע מעבר לכל ספק שיכולת מסוימת היא מולדת רצוי לזהות אותה כבר בגיל צעיר מאוד. ניסויים כאלה בגורי חיות הם כמובן קשים ביותר. בגורים של בני האדם, כלומר בתינוקות, ניסויים כאלה אפשריים.
 
3. יכולת מתמטית מוּלדת במין האנושי
לפני שנציג את הראיות לכך שהיכולת המתמטית אצל בני האדם היא מוּלדת, כלומר נטועה תורשתית בגֶנים, נעיר שתי הערות לאופי הדיון. ראשית, השימוש שלנו במונח גנים, כאן ובהמשך, הוא מושגי כללי, ולא מתייחס לגנים ספציפיים כלשהם או למערך של גנים. את הזיהוי של הגנים האחראים על היכולת המתמטית נשאיר לאנשי הביולוגיה. אנחנו נסתפק בביסוס העובדה שהיכולת המתמטית היא מוּלדת. שנית, הן בדוגמאות אודות בעלי החיים והן בדיון בפרק זה, איננו דנים ביכולות של בודדים. כלומר, איננו שואלים האם ההצלחה של תלמיד מסוים במתמטיקה נקבעת על ידי הגנים שלו בלבד או היא תוצאה של תנאי הסביבה או מורים טובים יותר או טובים פחות. אנחנו שואלים מהי היכולת המתמטית של המין האנושי והקשר של יכולת זו, אם היא קיימת, לתהליך האבולוציוני, תהליך הנמשך לאורך מיליוני השנים שבהן עוצבו היכולות האלה.
נתחיל בבחינת האלמנטים המתמטיים הפשוטים ביותר, כלומר מנייה והיכולת לבצע פעולות אריתמטיות פשוטות של חיבור וחיסור. אחת מהנחות היסוד של הפסיכולוגיה הקלסית היא שתינוקות נולדים עם מוח שהאבולוציה הכינה אותו ללימוד, אבל מלכתחילה הוא ריק מכל אינפורמציה. התינוקות רוכשים את הידע שלהם על העולם בתחילה מתוך התבוננות, ולאחר מכן בשילוב של התבוננות וניסיון. למידה מופשטת יותר מופיעה מאוחר יותר, עם התפתחות השפה. מי שהחזיק בדעה זו והפיץ אותה הוא לא אחר מאשר זיגמונד פרויד (1856-1939), אבי הפסיכואנליזה. הדברים אמורים בידע בכלל, וביכולת מתמטית בפרט. ממבט ראשון אכן נראה כי לגבי אלמנטים מתמטיים האבחנה נכונה. רק בגיל שלוש, או בגיל ארבע, ילדים רוכשים את היכולת למנות, ולאחר מכן לחבר או לחסר מספרים. בתחילת הדרך הילדים רק חוזרים על הספירה ששמעו, אחת, שתיים, שלוש, וכן הלאה. למשל, נותנים להם שלושה כדורים והם יכולים למנות, אחת, שתיים, שלוש, ארבע, חמש, ולחזור בלי להניד עפעף על כדור אחד מספר פעמים. רק בגיל מאוחר יותר מתחילים הילדים להבין מהי מנייה, ומאוחר אף יותר הם מתחילים לבצע פעולות אריתמטיות פשוטות. הגדיל לחקור ולהטיף בכיווּן זה הפסיכולוג הנודע זַ'אן פְּיָאזֶ'ה (Piaget, 1896-1980), שיצר תורה התפתחותית שלמה לגבי הקנָיָה הדרגתית של יכולות מתמטיות אצל ילדים מגיל ילדוּת ועד לבגרות. באחד הניסויים שערך פיאז'ה הוא הציג לילדים שמונה פרחים, מהם שש שושנים ושתי חרציות, ושאל: מה יש יותר, פרחים או שושנים? התשובה במספר נכבד של המקרים היתה שושנים. פיאז'ה הסיק כי לילדים אין אינטואיציה לגבי הכלה של קבוצות, כלומר אין לילדים הבנה כי בין שתי קבוצות שאחת מכילה את השנייה - במקרה שלנו קבוצת הפרחים מכילה את קבוצת השושנים - הראשונה גדולה יותר. בתקופתו של פיאז'ה האמינו כי יחסים בין קבוצות הם הבסיס הנכון להבנת האריתמטיקה (קביעה שהיום פחות ופחות מקבלים אותה, ועוד נדון בכך). בהתאם לכך הסיק פיאז'ה כי לילדים קטנים אין הבנה לגבי הקשר שבין גודל קבוצות והכלה של קבוצה אחת בשנייה, ועל אחת כמה וכמה אין להם יכולות מנייה וידע של אריתמטיקה פשוטה.
אבל הקניית יכולת מנייה רק בגיל של כמה שנים אינה מעידה בהכרח כי היכולת אינה מולדת. בתצפיות שהזכרנו, כולל הניסויים שערך פיאז'ה, המנייה והאריתמטיקה באות בד בבד עם היכולת לתקשר ולהשתמש בשפה נתונה, שפת אֵם בדרך כלל. אין זה מפתיע כי תקשורת בשפה מסוימת אינה תכונה מולדת אלא היא תכונה נלמדת. היכולת ללימוד שפה היא יכולת מולדת, אבל הקניית השפה המסוימת עצמה נמשכת מספר שנים. לפני הקניית השפה, היכולות האריתמטיות של הילד, כפי שניסו לאתרן בניסויים שתיארנו, אינן באות לידי ביטוי. המכשול אינו בחוסר היכולת של הילדים למנות אלא בעובדה שהם מתבקשים לענות על שאלות שכדי לקלוט אותן ולהבין מה התשובה המצופה להן דרוש אימון של שנים. הנה דוגמה למבחן שמראה כי להבנת השאלה תפקיד חשוב בפרשנות של המימצאים.
 

 
מראים לילדים בגיל שבין שנתיים ושלוש ארבע גולות ולידן ארבעה כפתורים, ושואלים מה יש יותר, גולות או כפתורים. רוב הילדים יאמרו שיש אותו מספר של גולות וכפתורים. אז מרַווחים את המרחקים בין הכפתורים ושוב שואלים מה יש יותר, גולות או כפתורים? רוב הילדים הקטנים יאמרו שהמספר זהה. כאשר חוזרים על התרגיל עם ילדים בוגרים יותר, בני ארבע וחמש, רבים מהם יאמרו כי יש יותר כפתורים. אין הדבר מצביע על ירידה בכושר המתמטי. ההסבר הנכון הוא כי הילדים הגדולים יותר אינם רגילים שמַפנים אליהם אותה שאלה טריוויאלית יותר מפעם אחת. לכן הם מסיקים כי השואל מצפה לתשובה אחרת, ומשערים כי השאלה מכוּונת לגודל של המִרוָוחים ולא למספר הכפתורים, ובהתאם לכך הם עונים.
יש ראיות ברורות לכך שכבר בגיל צעיר מאוד יש לתינוקות התייחסות למספרים ואף יכולת לבצע תרגילים פשוטים של חיבור וחיסור. איך בודקים יכולות קוגניטיביות כאלה אצל תינוקות בני כמה חודשים? יש כמה פרמטרים שלפיהם אפשר לראות האם תינוק מתרגש, או מופתע. אחד הפרמטרים הוא משך הזמן שבו התינוק בוחן מוצג מסוים. תינוק מתעכב במבטו מספר שניות על מצב או על מוצג מסוים ואז מסיט את המבט. כאשר המוצג חדש או מפתיע - ואצל תינוק בן כמה חודשים חדש הוא מפתיע - הוא מתעכב מספר גדול יותר של שניות. פרמטר שני הוא קצב המציצה. כאשר תינוק מתרגש או מופתע הוא מגביר את קצב ועוצמת המציצה שלו.
ניסוי שהתבצע על ידי רַנקָה בּיֵילְיאק־בּבִּיץ (Bijeljac-Babic) ועמיתים שלה בפריז (התוצאות פורסמו בשנת 1991), הראה כי אפילו לתינוקות בני יומם יש תחושה למספרים. מדדו את מהירות המציצה של תינוקות כאשר השמיעו להם מילים חסרות משמעות שכולן בנות שלוש הברות, למשל פִּיקָדֶן, אַלוֹבּוּ, קַמְקָמֶן. בתחילת הניסוי השמעת המילים הביאה למציצה חזקה יותר, עד שהתינוקות התרגלו לקולות והמשיכו במציצה רגילה. אז עברו להשמעת מילים בנות שתי הברות. כתוצאה מכך הורגשה מציצה חזקה יותר. וכך הלאה, כל פעם שעברו לסידרת מילים עם מספר הברות שונה נחזה שינוי בתגובת התינוקות. כלומר, כבר בגיל רך שכזה התינוקות יכולים לזהות כי מלה מורכבת מהברות והם מגיבים לשינוי במספר ההברות. בחירת ההברות במילים היתה אקראית מספיק כדי לבטל את המשמעות, שלא היתה, למילים עצמן, כך שההסבר היחיד הוא מספר ההברות.
ניסוי מורכב יותר, שנערך במעבדתו של פרֶנטיס סְטָרקִי (Starkey) מהאוניברסיטה של פנסילבניה (התוצאות פורסמו בשנת 1980), הראה שהאבחנה בין מספרים לא מוגבלת לערוץ תקשורת יחיד. הראו לתינוקות בני שישה חודשים זוגות של תמונות ובהן או שני עצמים או שלושה, נאמר שניים משמאל ושלושה מימין. בכל פעם הראו תמונות אחרות, לפעמים רק צורות גיאומטריות, לפעמים נקודות, כל פעם בצבעים אחרים, כל זאת כדי לבטל את ההשפעה האפשרית של התוכן שבתמונות. במקביל השמיעו צלילים, פעם שניים, פעם שלושה, באופן אקראי מספיק כדי לבטל תבנית כלשהי שסדר השמעת הצלילים יכול היה להביע. באופן מובהק, כאשר השמיעו שלושה צלילים העדיפו התינוקות להסתכל לעבר המסך עם שלוש הדמויות, וכאשר השמיעו שני צלילים הם העדיפו להביט לעבר המסך עם שתי הדמויות. התינוקות הפגינו פעולה של ספירה, או לפחות השוואת כמויות, משני ערוצי תקשורת שונים - הראייה והשמיעה.
ניסוי מתוחכם אחר שנערך על ידי קַרֶן וֵיין (Wynn) מאוניברסיטת יֵיל (התוצאות פורסמו בשנת 1992) הראה כי לתינוקות חוש טבעי לחיבור וחיסור. הניחו לפני תינוקות בני כמה חודשים מסך והראו להם איך דמות נכנסת מאחורי המסך. אחר כך הרימו את המסך וחשפו את הדמות. בפעם נוספת דמות הוכנסה, אחריה עוד דמות הוכנסה, אז הרימו את המסך וראו שתי דמויות; וכך הלאה, עד שהתינוק מתרגל לנעשה. אז מבצעים תרגיל עם אריתמטיקה לא נכונה. נכנסת דמות, אחריה עוד אחת, מרימים את המסך ורואים רק דמות אחת. באופן מובהק הראו התינוקות בני כמה החודשים סימני הפתעה. הם ציפו לשתי דמויות, והנה רק אחת. חזרו על הניסוי בווריאציות שונות כדי לבטל אפשרות שהתינוקות פשוט התרגלו לתוצאה של תרגיל מסוים. באופן מובהק, תוצאות שאינן נכונות מבחינה מתמטית זכו לתשומת לב גבוהה. יותר מאוחר הצליחו לבצע סוג כזה של ניסוי עם קופי רֶסוס בוגרים. גם הם הראו סימני הפתעה, למשל כאשר הוכנסו שתי בננות, האחת לאחר השנייה, לתיבה סגורה וכאשר נפתחה התיבה נמצאה בה רק בננה אחת.
ניסויים אלו נעשו בקפידה, ואפשר להסיק מהם כי השורשים של היכולות האריתמטיות של המין האנושי הם גנטיים. כמובן, פעולות אלו נעשות במוח הלא מפותח ולא בשפה מסוימת, ולכן אין אפשרות לתינוק לשוחח על התוצאות עם הוריו או עם חבריו. כאשר יגדל הילד יהיה עליו ללמוד להביע את היכולות המתמטיות בשפת הדיבור שלו ושל הוריו. לימוד זה הוא תהליך בפני עצמו. אך האריתמטיקה הפשוטה טבועה אצל תינוקות ואינה תוצר לוואי של מוח שהתפתח למטרות אחרות לגמרי. מכאן גם אפשר להסיק שאריתמטיקה פשוטה נתנה יתרון בתחרות האבולוציונית. אין זו עובדה מפתיעה. לבעל חיים המתחרה על מקורות מחיה יהוו היכולות המתמטיות להבדיל בין גדול לקטן, בין הרבה למעט, ואפילו לחבר ולחסר, יתרון במאבק האבולוציוני. פרט כזה יתאים יותר לסביבה התחרותית מאשר בני מינו שהיכולת האריתמטית שלהם נמוכה יותר.
איך מתיישבת אבחנה זו עם מימצא, מבוסס גם הוא, ולפיו שבטים פרימיטיביים, גם כאלה שהתגלו במקומות נידחים עד לא מכבר, משתמשים רק במספרים אחת, שתיים, שלוש כדי לתאר את סביבתם, ולכמויות גדולות יותר ניתן אז התואר "הרבה"? אם בעלי חיים כמו ציפורים או חולדות יודעים להבחין בין מספרים גדולים משלוש, הרי מצופה מבני אדם שיֵדעו ויספרו טוב יותר. התשובה פשוטה: השפה התפתחה אצל המין האנושי מאוחר הרבה יותר והדגישה את החשוב על פני הפחות חשוב. אותם שבטים פרימיטיביים מבחינים כנראה היטב בין אוספים בני חמישה או שישה עצמים, אך השפה שלהם אינה עשירה מספיק כדי לתאר אותם, כי לא נוצר אצלם הצורך לייחד מונחים למספרים גדולים משלוש. אין הדבר סותר את העובדה כי ברמה האינטואיטיבית היכולת האריתמטית שלהם גדולה הרבה יותר. ככל שמתפתחת השפה מתפתחות גם יכולות לבטא ולבצע פעולות אריתמטיות נרחבות יותר. השפה התפתחה מאוחר יחסית לתהליך האבולוציוני הכללי, אך גם היא חלק מתהליך האבולוציה. המוח האנושי מיוחד, בין בעלי החיים, ביכולות הקומוניקציה הלשונית. עדות עקיפה לכך שגם אריתמטיקה, מנייה ויכולות של חיבור וחיסור, למשל, הן תוצר ישיר של האבולוציה ולא רק תוצר נלווה לשפה, אפשר למצוא במקרים מתועדים שבהם נולדו בני אדם עם שיבוש מוחי שהתבטא בחוסר היכולת למנות, לחבר ולחסר, בעוד שאר היכולות הלשוניות נשארו תקינות לחלוטין. ולהיפך, ישנם אנשים שהיכולת הלשונית שלהם פגומה, אך הם מסוגלים לבצע פעולות אריתמטיות בקלות רבה.
ראוי לציין כי טכניקות דומות למחקרים על השורשים האבולוציוניים של המתמטיקה אפשר ליישם כדי לגלות יכולות ותכונות ששורשיהן אבולוציוניים ושאינן קשורות במתמטיקה. רק לאחרונה (בשנת 2010) התפרסמה עבודת מחקר של החוקרת קרן ויין מאוניברסיטת ייל, שאותה הזכרנו קודם לכן, עם בן זוגה פּוֹל בְּלוּם, שהראתה כי אלטרואיזם ושאיפה לצדק נמצאים כבר אצל תינוקות בני כמה חודשים, בגיל שסביר כי עדיין לא ספגו תכונות אלה מן הסביבה. אין הדבר מפתיע. העדפה של חלוקה צודקת של משאבים היא תכונה שעוזרת לקבוצה לשרוד במאבק האבולוציוני, ולכן סביר כי תהיה טבועה במין האנושי כבר ברמה הגנטית.
 
4. מתמטיקה הנותנת יתרון אבולוציוני
למתמטיקה פנים רבות. בפרק הקודם הראינו שהבנת אריתמטיקה של מספרים היא תולדה אבולוציונית. בפרק זה נצביע על ענפים אחרים של הפעילות המתמטית שאפשר לשער כי היה להם יתרון במאבק האבולוציוני. נציג ראיות לכך שגם ענפים אלה נטמעו במטען הגנטי. נוכל להתייחס למתמטיקה כזו כאל מתמטיקה טבעית. ובפרק הבא נצביע על פעילות מתמטית שאינה טבעית, כי לא היה לה יתרון אבולוציוני בתקופה שבה התגבש הגנום האנושי.
מתקבל על הדעת שלהיכרות עם אלמנטים גיאומטריים היה יתרון אבולוציוני. כיוון שלמקורות מזון או מים יש צורות גיאומטריות אופייניות, הרי לזיהוי אמין של צורות כאלה יש יתרון במאבק על מקורות מחיה. אבל האם ישנן ראיות לכך שכתוצאה מן האבולוציה זיהוי צורות גיאומטריות טבוע בגנים?
נציג קודם כול את המלבן המפורסם עם חתך הזהב, או יחס הזהב.
 

 
המדובר הוא במלבן שהיחס בין צלעו הגדולה וצלעו הקטנה הוא כזה שאם נסיר ממנו ריבוע שצלעו כאורך הצלע הקטנה, נישאר עם מלבן (זה העומד באיור במאונך) עם אותו יחס בין צלעותיו. נעיר - אם כי אין הדבר רלבנטי לסיפורנו - שלא קשה לחשב את הערך המספרי של יחס הזהב (ודילוג על החישוב שלהלן לא יפגע בהבנה בהמשך).
 
◄ אם נסמן באות a את אורך המלבן ובאות b את רוחבו, השוויון ביחסים מתבטא אז במשוואה  אם נסמן באות x את היחס  המבוקש, הנעלם x מקיים את המשוואה הריבועית  שפיתרונה (לשם כך צריך להיזכר בנוסחה מימי התיכון) הוא  זהו חתך הזהב, שקירוב עשרוני שלו הוא 1.6180.
 
היחס הזה מתגלה בהרבה מופעים ותהליכים בטבע, ותכונות שונות שלו היו ידועות כבר בימי קדם. היחס זוהה גם בארכיטקטורה העתיקה. למשל, מידותיו של מבנה הפַּרְתֶנוֹן באתונה מתאימות בצורה מדהימה למידות המוכתבות על ידי יחס הזהב. היחס חבוי גם בציוריו של ליאונרדו דה וינצ'י, שגם התייחס אליו בכתביו המתמטיים, אם כי הוא לא ציין במפורש כי אכן השתמש ביחס הזהב.
בעקבות הזיהוי של יחס הזהב במופעים השונים ולפעמים הבלתי צפויים בטבע, ייחסו לו הקדמונים תכונות פלא מיסטיות, ואף כינו אותו היחס האלוהי. שנים רבות התנהל, ועדיין מתנהל, דיון בקרב ההיסטוריונים ובקרב אנשי האמנות ביחס לשאלה האם אכן השתמשו הבנאים והאמנים בדורות הקודמים ביחס הזהב בארכיטקטורה ובאמנות שלהם במודע, או אולי המופע של יחס זה הוא תדיר כי הוא פשוט היה נעים לעין. לא ניכנס כאן לוויכוח הבלתי מוכרע הזה, אך נעיר כי אכן יחס זה נעים לעין. הדבר הוכח בעשרות מחקרים אמפיריים, לרבות מחקרים שהראו כי תינוקות צעירים לימים מגיבים בהנאה וברגיעה למראה מלבן עם יחס הזהב לעומת תגובותיהם לצורות גיאומטריות אחרות, לרבות מלבנים עם יחסים שונים מיחס הזהב במידה רבה.
התופעה הזו דורשת הסבר. אנחנו רגילים לכך שנעימוּת של ציור או צורה בעיני אדם מבוגר תלויים במידה רבה בהתרגלות ובחינוך. לדוגמה, היחס לאמנות המודרנית היה כמעט עוין בתחילתה, והשתנה במשך השנים, כאשר הקהל הרחב התרגל אליה יותר ויותר. תינוקות בני יומם עדיין לא הספיקו להתרגל לצורה זו או אחרת. מהיכן העדפתם את יחס הזהב? ההסבר: אבולוציה. תבחנו את מידות הראש האנושי ותמצאו כי הן קרובות פחות או יותר ליחס הזהב. באותה מידה, יחסים חלקיים בתוך הפנים האנושיות, כמו היחס בין הרוחב והגובה של העיניים, בין הגובה והרוחב של האוזן, גם הם קרובים ליחס הזהב. לכן ברור מהו היתרון האבולוציוני שיש לתינוק המזהה ושמח לגלות דמות עם יחס זה. תינוקות שיגלו רגיעה למראה אמא המתקרבת אליהם לעומת הפגנה של אי־נוחות עד כדי קריאה לעזרה למראה ציפור טרף קרבה, הם בעלי סיכויי הישרדות גבוהים יותר. לכן סביר שההרגשה הנוחה יותר עם צורות מלבניות עם יחסים דומים ליחס הזהב נטועה בגנים של האדם. אין לתופעה דבר וחצי דבר עם יחס הזהב עצמו. יתר על כן, מחקרים מראים כי תינוקות מרגישים בנוח גם עם צורה של כף יד, וגם לכך הסיבה האבולוציונית ברורה. האבולוציה מתגמלת תינוק המגיב בחוסר נחת אם מחזיק אותו טורף לעומת המקרה שבו הוא מוחזק בידי יד אדם. אני הייתי מנחש כי אילו אפשר היה לבצע מחקרים דומים אצל ציפורים, היינו מגלים כי בין הצורות הגיאומטריות, הצורה הנעימה לעין הגוזל היא משולש עם זווית חדה.
עדיין אפשר לתהות, אולי למד התינוק להרגיש נוח עם יחסים דומים ליחס הזהב רק בשבועות הראשונים אחרי שנולד. התשובה לכך היא ההפגנה של פחד ואי־נוחות של ילדים מול צורות מסוימות. פסיכולוגים טוענים שכעשירית מהילדים פוחדים פחד קמאי מליצנים. לאחרונה קנה לו ביסוס עיסוק הנקרא ליצן רפואי, שכרוך בפעילות ליצנית המקלה על ילדים הנזקקים לטיפול בבתי חולים. אלא שגם דוּוח על מקרים שבהם הליצן הרפואי רק הזיק, ומצבם של הילדים המבועתים מן הפגישה עימו רק החמיר. גם תופעה זו קשורה לגיאומטריה, ושורשיה אבולוציוניים: מראה של ליצן על כל צבעיו הססגוניים והגיאומטריה הלא אנושית של גפיו וראשו, מכניס לפעולה אותם גֶנים שמביאים תינוקות לקרוא לעזרת הוריהם כאשר ציפור או נמר ססגוניים מתקרבים. לא הגיוני שבעולם המודרני תינוקות "ילמדו" לפחד מליצנים. תכונות מוּלדות אלה הן התחלה של אבחנה גיאומטרית. (גם בהמשך נשתמש לעיתים במטאפורה הפשטנית אך מאירת העיניים של עימות עם נמר.)
 
יכולת בסיסית נוספת במתמטיקה, יכולת שקרוב לוודאי שיחקה תפקיד במאבק האבולוציוני, היא היכולת לזהות חוקיות, דפוסי פעולה, תבניות (patterns). אינני מכיר ניסויים מבוקרים המראים כי הנטייה והיכולת לזהות חוקיות נטועה בגנים, אך דמיינו לעצמכם אדם קדמון, ודמיינו שוב נמר המתגנב אליו בדשא ומשאיר שביל כבוש. היכולת לזהות את השביל כמקור של סכנה יכולה להציל חיים. היכולת לזהות תבניות טבועה גם בחושים אחרים, כמו שמיעה. די לשמוע כמה תווים כדי לזהות תבנית, ואף מנגינה שלמה. כיוון שזיהוי תבניות הוא תכונה העוזרת במאבק ההישרדות, הפרטים בעלי היכולת הזו העמידו צאצאים רבים יותר מאשר אלה החסרים את יכולת הזיהוי של תבניות. לכן, קרוב לוודאי שהנטייה לזהות תבניות נטועה בגנים שלנו. הנזק בזיהוי תבנית בְּמָקום שאינה קיימת קטן מאשר אי־זיהוי תבנית קיימת. לכן הנטייה האבולוציונית לזהות תבניות מביאה גם לזיהוי של תבניות לכאורה, כולל זיהוי שגוי של תבניות כאשר אינן בנמצא כלל. כדוגמה לזיהוי שגוי נזכיר כאן את החיבור ששמו הצופן התנ"כי. על ידי בניית משפטים ממילים הנבחרות על ידי דילוגים במִרווחים שווים בטקסט התנכי אפשר, לכאורה, להראות כי רבים מהמאורעות בעת החדשה נחזו בטקסט העתיק. בדיקות סטטיסטיות זהירות הראו כי אין בתבניות אלה כל ממש. אך אצל מגלי הצופן, הנטייה לחפש תבנית גברה על הזהירות המדעית. נפגוש בפרקים הבאים טעויות מנטליות אחרות הנובעות מאיתור תבניות במקום שאינן.
חלק נכבד של המתמטיקה, הן במחקר המתמטי והן בלימודי מתמטיקה בשלביה השונים, מתרכז בזיהוי של תבניות בסדרות. הנה מספר תרגילים פשוטים:
המשך את הסידרה
2, 4, 6, 8, 10, ...
כבר בגיל צעיר יחסית יזהו ילדים כי מדובר בסידרת המספרים הזוגיים ויציינו את המספרים 12, 14 כמספרים הבאים בסידרה. לזיהוי הסידרה הבאה צריך ידע רב יותר,
1, 4, 9, 16, 25, 36, ...
אך לא קשה לראות כי מדובר במספרים שהם ריבועים של המספרים 1, 2, 3, 4, 5, 6, ולכן המספרים הבאים בסידרה יהיו 49, 64. ראוי לציין ולהדגיש כי אין הכרח להמשיך את הסדרות כפי שהצענו, כלומר, ההמשכים הללו אינם נובעים מהכרח לוגי. יתר על כן, הפיתרונות הם תלויי תרבות. הנה תרגיל שמיוחס למתמטיקאי וההיסטוריון של המתמטיקה מוריס קליין (Kline). המשך את הסידרה
4, 14, 23, 34, 42, 50, 59, ...
התשובה: 72. המספרים מציינים את מספרי הרחובות שבהם עוצרת הרכבת התחתית C במנהטן שבעיר ניו יורק, והתחנה הבאה נמצאת ברחוב 72. אני משער כי אם התרגיל היה מופנה לנוסעי הרכבת התחתית בניו יורק היו רבים מהם עונים 72. אני נמנע מלהשתמש בניסוח "עונים נכון" כי אין כאן עניין של נכון או לא נכון. התשובה נכונה אם היא קולעת למחשבתו של שואל השאלה. אבל קל לראות כי למין האנושי יש אינטואיציה מלידה להמשיך סדרות כאלה באופן הגיוני ולקלוע לדעת השואל. בחלק האחרון של החיבור נדון בהקשר שבו הוצג התרגיל על ידי מוריס קליין.
כמובן, צריך שלא להגזים. ידוע הסיפור על המטוס עם ארבעה מנועים בדרך בין ניו יורק ללונדון. לאחר שעת טיסה, הטייס מודיע כי מנוע אחד מהארבעה הפסיק לעבוד אבל לא נורא, הטיסה תיקח תשע שעות במקום שש. אחרי מספר דקות הוא מודיע שעוד מנוע התקלקל אבל לא נורא, נגיע ליעד אחרי 12 שעות טיסה. עוד זמן מה עובר והטייס מודיע כי מנוע שלישי הפסיק לעבוד אבל לא נורא, הטיסה תגיע אחרי 15 שעות. מתפרץ נוסע ושואל: האם יש במטוס אוכל ושתייה ל־18 שעות למקרה שגם המנוע הרביעי יתקלקל (מעניין מה יענו תלמידים אם יבקשו מהם להשלים את הסידרה במסגרת תרגיל במתמטיקה).
לחלק מן ההמשכים ההגיוניים, אף כי אין בהם הכרח לוגי, יש נגיעה ישירה לתופעות טבעיות. לדוגמה, נבחן את הסידרה:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
החל מהמספר השלישי, כל מספר בסידרה הוא הסכום של שני הקודמים לו. לכן המספר הבא בסידרה יהיה 34 ולאחריו 55 וכך הלאה. זו סידרת פִיבּוֹנָצִ'י (Fibonacci) הקרויה על שמו של המתמטיקאי האיטלקי ליאונרדו פיבונצ'י או ליאונרדו מפיזה (1170-1250), מי שסִפרוֹ משנת 1202 כלל פיתוח נרחב לתכונות מתמטיות של סידרה זו. הסידרה משקפת תופעות רבות של התפתחות וגידול בטבע, לצד תכונות מתמטיות מעניינות כשלעצמן. נציג שימוש אחד לסידרה:
ישנם עצים, ביניהם למשל סוגי מַנְגְרוֹבים, המתרבים על ידי כך שאחד מענפיהם נקלט באדמה ומצמיח גזע חדש. אך צריכה לעבור שנה עד שהצמח הצעיר יכול לשלוח אחד מענפיו כדי שיצמיח בעצמו גזע חדש. נניח כי שותלים באדמה צמח צעיר. לאחר שנה עדיין יהיה לנו גזע אחד, אבל לאחר שנתיים יצמיח זה גזע חדש ויהיו לנו שני צמחים. זו תחילת הסידרה, 1, 1, 2. בשנה שלאחר מכן יצמיח רק העץ הראשון גזע חדש כך שבשנה הרביעית יהיו שלושה עצים. שנה אחר כך יצמיחו שני העצים הוותיקים גזע חדש ויהיו לנו 5=2+3 עצים, והסידרה היא כבר 1, 1, 2, 3, 5. וכך הלאה, כל שנה מספר הגזעים המתווסף הוא כמספר העצים הוותיקים, והסידרה המתארת את מספרם היא סידרת פיבונצ'י. לא נרחיב כאן את היריעה מעבר לדוגמה, ורק נזכיר כי לסידרה יש התכונה שאם מחלקים מספר מהסידרה בזה שמופיע לפניו, הרי ככל שמתקדמים בסידרה מתקרבים ליחס הזהב, שכבר הכרנו. זו עוד עובדה ששכנעה את הקדמונים כי מדובר ביחס אלוהי. העובדה כי לסדרות שאת הֶמשכן אפשר לגלות באופן אינטואיטיבי יש פירושים, או הדגמות, בתופעות טבע, חיזקה כנראה במשך הדורות את הנטייה לפתח את התכונה של זיהוי תבניות.
 
נסכם את האבחנות בפרק זה ובזה שלפניו בכך שנאמר כי ניתן להראות ולהדגים בניסויים יכולות מתמטיות שבמשך מאות אלפי שנות אבולוציה היה בהן יתרון במאבק ההישרדות האבולוציוני. תהליכי המוטציה והסלקציה שבהם עיצבה האבולוציה את המין האנושי גרמו להטמעת יכולות אלה בגנים של האדם.
 
5. מתמטיקה ללא יתרון אבולוציוני
בפרק זה נבחן כמה היבטים של המתמטיקה שכנראה אינם טבועים בגנים שלנו, כיוון שלא נשאו עימם יתרון אבולוציוני. הדיון הנוכחי יהיה ספקולטיבי, אך מאוחר יותר נציג ראיות המאששות את האבחנות שנצביע עליהן כאן. עוד נדגיש כי העדר היתרון האבולוציוני שאליו אנו מתייחסים הוא בתקופה שבה התפתחו הגנים המעצבים את המין האנושי. זו הסיבה לכך שהמתמטיקה מהסוג שנצביע עליו אינה טבעית לחשיבה האינטואיטיבית. אין הדבר אומר כי המתמטיקה הזו אינה חשובה, או אינה מועילה. ההיפך הוא הנכון. ליכולות המתמטיות האלה היה יתרון גדול באבולוציה המאוחרת יותר של חברות אנושיות, אלא שזו אבולוציה מאוחרת, והזמן שעבר מאז החלה ההתפתחות של חברות אנושיות לא הספיק כדי להטמיע את היכולות הללו בגנים.
השפה המתמטית משתמשת במידה רבה בכַּמָּתִים (quantifiers). אלה ביטויים כמו "לכל", או "קיים", המופיעים בטיעונים מתמטיים. למשל, משפט פיתגורס המפורסם, שהוכח כבר לפני כאלפיים וחמש מאות שנה, אומר כי לכל משולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר. הדגש הוא על הכַּמָּת "לכל". טענה שימושית אחרת אומרת כי כל מספר שלם וחיובי הוא מכפלה של מספרים ראשוניים, וכיוצא בכך. דוגמה מפורסמת מהזמן האחרון הוא המשפט האחרון של פֶרמָה (Fermat's Last Theorem) שההשערה כי הוא אמיתי נוסחה כבר במאה השבע־עשרה אך ההוכחה שלו הושלמה על ידי המתמטיקאי הבריטי אַנדְרִיוּ וַוילס (Wiles), מאוניברסיטת פרינסטון, רק בשנת 1995. המשפט אומר כי לכל ארבעה מספרים טבעיים (כלומר מספרים שלמים וחיוביים) X, Y, Z ו־n, אם n גדול או שווה ל־3 הסכום Xn+Yn אינו יכול להיות שווה ל־Zn. באלפי שנות התפתחותה של המתמטיקה המודרנית, ההוכחה כי תכונה מסוימת קיימת תמיד, נחשבה להישג.
אך האם בדיקה כי תופעה מסוימת נכונה תמיד היא טבעית? האם כאשר תופעה חוזרת על עצמה בתנאים מסוימים, גם עולה באופן טבעי השאלה האם התופעה מתרחשת בכל פעם שהתנאים מתקיימים? לא כך הדבר. אם הניסיון מעלה כי נמר הוא חיה טורפת, המסקנה היא שכאשר פוגשים נמר ראוי לברוח או להסתתר. איבוד אנרגיה או זמן במחשבות מופשטות כמו האם תמיד הנמר המסוים יטרוף, לא נותן יתרון אבולוציוני, שלא לדבר על החיסרון האבולוציוני הכרוך בבדיקה של השאלה האם כל נמר טורף.
 
התייחסות שגורה נוספת במתמטיקה היא למושג האינסוף. "ישנם אינסוף מספרים ראשוניים", הוכיחו היוונים. האם השאיפה להוכיח עובדה כזו היא טבעית? האם כאשר מזהים עצמים רבים, סביר לשאול האם יש אינסוף כאלה? שוב, נראה לי שלא. נדמיין את האדם הקדמון מגלה כי אזור מסוים שורץ נמרים מסוכנים. האם כדאי לו לדון בשאלה האם יש אינסוף מהם, או אולי רצוי שיישא רגליו מהאזור מהר ככל האפשר? השאלה "האם יש אינסוף נמרים?", או אפילו השאלה "האם יש הרבה יותר נמרים מן המספר הגדול והמסוכן שאני כבר זיהיתי?" הן שאלות "אקדמיות". מי שיקדיש להן זמן ואנרגיה ייפגע, ויחבל בסיכויים של עצמו לנצח בתחרות האבולוציונית.
 
צורת טיעון אחרת שהמתמטיקה פיתחה מתבטאת בהתייחסות לעובדות שאינן יכולות להתקיים. טענה מן הצורה "אם לא יקרה א אז יקרה ב" היא לחם חוק של מורים, תלמידים וחוקרים במתמטיקה. נפגוש דוגמאות כאלה למכביר בהמשך. גם צורת מחשבה זו אינה טבעית. פעולת המוח האנושי בנויה על אסוציאציות, על זיכרון של דברים שהתקיימו. להיתלות במאורע שלא התקיים היא פעולה אפשרית ומועילה, אלא שהיא לא באה בקלות ובאופן אינטואיטיבי. כשאתה נכנס לחדר אתה סוקר מה יש בו ופחות מקדיש מחשבה למה שאין בו. נחזור ונאמר כי אין אנו טוענים שלחפש אחר אינסוף עצמים מתמטיים, או להוכיח כי תכונה מסוימת נכונה תמיד, או להתייחס לשלילה של אפשרות, הן פעולות שאינן ראויות, או אינן חשובות, או אינן מעניינות. כל מה שאנו אומרים הוא כי אלה פעולות שאינן טבעיות, וכי ללא מסגרת מתמטית המציעה את האפשרויות הללו, לא יגיע אדם סביר, או תלמיד שלא אומן לכך, לשאול את השאלות הללו רק מתוך בסיס אינטואיטיבי.
 
תכונה אחרת שאינה נטועה בטבע האדם היא הדרישה לקפדנות ולדקדקנות. המתמטיקה מתגאה בכך שהוכחה מתמטית, אם רק לא נפלה בה שגיאה, היא בגדר אמת מוחלטת. לפיכך פיתחה המתמטיקה טכניקות של בדיקה קפדנית שאמורות להביא לאותה אמת מוחלטת. גישה כזו אינה יכולה לנבוע מהאבולוציה. אין גֶנים המכַוונים את התנהלות בני האדם לקפדנות שמסלקת כל ספק. הדגָמָה משכנעת לכך טמונה במעשייה הבאה:
מתמטיקאי, פיזיקאי וביולוג יושבים על גבעה באירלנד וצופים בנוף. ממול עוברות להן שתי כבשים שחורות. הביולוג אומר: תראו, הכבשים באירלנד שחורות. מתקן הפיזיקאי: לא, יש באירלנד כבשים שחורות. ממש לא, אומר המתמטיקאי, יש באירלנד כבשים שהן שחורות לפחות מצד אחד.
האם האבחנה של המתמטיקאי, קפדנית ונכונה ככל שתהיה, היא סבירה בשימוש יומיומי? כמובן לא. במובן זה החיים הם לא מתמטיקה. בחיים, אפילו בחיים הקדמוניים, כדאי ורצוי לאפשר חוסר קפדנות, ואפילו לאפשר טעויות, כדי להשיג יעילות. אם ראש של נמר מציץ מעבר לשיחים אַל לו לאדם לדקדק ולומר "לא הוכחנו כי לנמר המסוים הזה יש רגליים", אלא רצוי שיישא את רגליו הוא מהמקום, מהר ככל שיוכל.
 
חזרנו וטענו כי השימוש בכַּמָּתים וההתייחסות לשלילה של טענה לא נטמעו במוח האדם במהלך האבולוציה ואינם אינטואיטיביים. ראיה עקיפה לטענה זו אפשר למצוא גם במחקרים שבדקו כמה פעולות מתמטיות יכול מוח האדם לעבד בזו אחר זו. פעולות של חיבור, חיסור, וכדומה, יכול המוח לבצע בסידרה כמעט ללא הגבלה. אפשר לבקש מאדם להכפיל, להוסיף, לחלק, וכך הלאה, בסידרה ארוכה של פעולות, ואם רק יזכור את הסדר, למשל אם ימצא תבנית לפיה הפעולות צריכות להתבצע, יוכל להכיל את ההוראות ולפתח אינטואיציה לגבי התוצאה. לא כן הדבר לגבי כמתים ושלילה. הפסוק "לכל כלב יש קולר שאינו ירוק" משתמש בשלושה סימנים לוגיים: לכל, יש, אין. מחקרים הראו שאפילו אם האדם זוכר את סדר הפעולות, המקסימום שהמוח יכול להכיל הוא שבעה כמתים. מעבר לכך אין האדם המוכשר ביותר יכול להעריך את תוצאת הפעולה. מעניין כי החסם למספר הפעולות הלוגיות הוא שבע, והוא זהה למה שכבר ראינו - החסם לַמספר שבעלי החיים מסוגלים לזהותו. ראָיה בלתי ישירה אחרת לקושי בהתייחסות לכמתים משתקפת במציאותם של יחידי סגולה, חלקם אוטיסטים או חולי תסמונת אַספֶּרגֶר, המסוגלים לבצע פעולות אריתמטיות מסובכות במהירות ובדיוק מדהימים. אין בנמצא כאלה המסוגלים לבצע פעולות לוגיות מסובכות. הסיבה היא, כנראה, שיכולות אריתמטיות חישוביות נמצאות במוח באופן טבעי, והן מתחזקות באופן לא טבעי ולא פרופורציוני אצל אנשים שמגבלותיהם לא מאפשרות להם לפתח יכולות אחרות. ולוגיקה לא נמנית בין היכולות המוקצנות האלה.
מדוע ראוי וחשוב לזהות יכולות מתמטיות הטבועות בנו מכוח האבולוציה, ולאתר תכונות אחרות שאינן כאלה? בני האדם חושבים בצורה אינטואיטיבית, בצורה אסוציאטיבית, וקל ואפשר לפתח אינטואיציה הנסמכת על יכולות טבעיות. יכולות הנמצאות כבר בגנים קל יותר לפתח, לטפח, ולהשתמש בהן. קשה יותר לעשות זאת לגבי יכולות שאינן טבעיות למין האנושי. להכרה שיש הבדל בין סוגי הפעולות המתמטיות הללו, ולהבנה של שורשי ההבדל הזה, יש תפקיד חשוב בהבנה ובניצול של החשיבה האנושית. בהמשך נראה את המשמעויות השונות של הבדלים אלה בהתפתחות המתמטיקה, ובפרק האחרון נצביע על ההשלכות של הכרת ההבדלים הללו על לימוד מתמטיקה.
 
6. המתמטיקה בממלכות הראשונות
בפרק זה נעיין במתמטיקה שהתפתחה בממלכות הבבלית, האשורית והמצרית. נעיף גם מבט על המתמטיקה שהתפתחה, באופן בלתי תלוי ומעט מאוחר יותר, בממלכה הסינית. למרות שהסקירה אינה ממצה את המתמטיקה שנוצרה בממלכות הללו, היא משקפת נכונה את סוג המתמטיקה שהתפתחה. בפרט, נראה כי ההתפתחויות עוקבות בצורה ברורה אחר מה שקראנו לו היתרון האבולוציוני. היבטים אלה של המתמטיקה לא רק שהקנו יתרון לאדם על בעלי החיים האחרים, הם העניקו יתרונות לחברה שפיתחה את המתמטיקה הזו על פני חברות אחרות. החברות השולטות הן אלה שפיתחו את המתמטיקה העדכנית ביותר והשתמשו בה כדי להרחיב ולבסס את שלטונן.
התייחסות למספרים ולאריתמטיקה היתה קיימת עוד בתקופה קודמת לממלכות בבל ומצרים. אין ראיות ישירות על מקומה ורמתה של מתמטיקה זו. בהסתמך על אותם שבטים נידחים שאותרו במאות האחרונות ואשר שפתם הכילה התייחסות רק למספרים 1, 2, 3, ולמונח הרבה, אפשר לשער כי המתמטיקה שהשתמשו בה היתה מינימלית. מצד שני, בשנת 1960 התגלו בקונגו הבלגית עצמות המתוארכות לעשרים אלף שנה לפני הספירה, ועליהן סימונים שלדעת הארכיאולוגים והאנתרופולוגים מבטאים פעולות ספירה עד למספר עשרים ויותר. ניתן לכן להסיק כי בימים שהאדם חי והתפתח בקבוצות קטנות, נדד והתקיים בעיקר מצַיִד, הוא פיתח מתמטיקה פשוטה מן הסוג שהצבענו עליו בפרקים הקודמים כבעל יתרון אבולוציוני.
 
הממלכה הבבלית היתה אדירה, בוודאי במושגי הימים ההם. תחילתה מתוארכת לסביבות 4700 לפני הספירה. תרבותה התבססה על התרבות השוּמֶרית. מאוחר יותר השתלטה התרבות האַכַּדית על האזור והביאה לפריחה תרבותית, כלכלית וחברתית. התרומה האכדית נודעה בעיקר בזכות המלך חמוּרָבִּי ששלט בממלכה בסביבות 1750 לפני הספירה, ונודע בעיקר בזכות "חוקי חמורבי" שהיו קוד ההתנהגות החברתי המקיף הראשון הידוע בעולם. בסביבות שנת 1000 לפני הספירה החלה הגירה של אַשוּרים מפרס של ימינו, ובעקבותיה השתלטו האשורים על המזרח התיכון. אלה שלטו עד הכיבוש היווני שבהנהגת אלכסנדר מוקדון בשנת 330 לפני הספירה.
הידע שלנו על המתמטיקה הבבלית מבוסס בעיקר על שברי חרסים שנמצאו במספרים גדולים, ושהיו אמצעי הכתיבה העיקרי בממלכה לאורך שנותיה. אוסף גדול במיוחד נמצא בעיר נִיפּוּר. חלקים גדולים ממנו הועברו לאוניברסיטת יֵיל שבארצות־הברית ועבודת הפיענוח שלהם עדיין לא הושלמה. הכתב הבבלי היה כתב היתדות, שהכיל גם סימונים למספרים. שיטת הרישום היתה מבוססת על מיקום הסִפרה, בדומה לכתיב העשרוני של ימינו, אך מסיבות שאינן נהירות לחלוטין המספרים נרשמו על בסיס 60. השיטה העשרונית פותחה בהודו רק בערך במאה השישית לספירה והיא יובאה למערב על ידי הערבים במאה השמינית, אך אומצה באירופה באופן מלא רק במאה השש־עשרה. לבבלים לא היה סימון הדומה לאפס של ימינו. אם היינו מאמצים את השיטה הבבלית בימינו, היו המספרים 24 מסמנים הן את המספר עשרים וארבע והן את המספר מאתיים וארבע. על הקורא היה להסיק מן ההקשר מהו המספר שאליו התכוון הכותב. במקרים שבהם הכוונה היתה עלולה להיות בלתי ברורה - וגם זאת רק במאות האחרונות של הממלכה - היו משאירים רווח כלשהו בין המספרים כדי לציין את ההבדל, כלומר, רווח בין ה־2 ל־4 היה מציין כי הכוונה היא למספר מאתיים וארבע. (בכמה חרסים נמצא במקום שהיום היינו משתמשים בספרה 0 סימן שבטקסטים מילוליים שימש כסימן הפרדה. יש המפרשים עובדה זו כשימוש ראשון בסימן לאפס כמספר). יתר על כן, השימוש בבסיס 60 לא היה בלעדי, ולעיתים השתמשו בבסיסים 25 או 20. גם אז היה על הקורא להסיק מן ההקשר של הכתוב מהו הבסיס. ממרחק הזמן שעבר, הנוהג הזה נראה מכביד ואף מוזר. אך צריך לשים לב שכך אנו נוהגים בכתיבה שאינה מתמטית. אי־בהירות, ואף דו־משמעות, נמצאים למכביר בשפה המדוברת ובשפה הכתובה. בדרך כלל הקורא מסוגל להבין את הכוונה בכתוב מתוך ההקשר. הסיבה לאי־הבהירות ברורה: ניסוחים קפדניים, שלא ישאירו כל אפשרות לפרשנות מוטעית, יעלו במאמץ רב שבדרך כלל לא שווה את התועלת שתצמח ממנו. חוסר הקפדנות הוא יעיל יותר ולכן עדיף במאבק ההישרדות. הבבלים התייחסו לביטוים המתמטיים כאל חלק מן השפה, ולא ראו צורך לדקדק בהם יותר מכפי שהשפה מדקדקת בביטוייה.
מבין מאות אלפי החרסים שנמצאו ישנם רבים עם טבלאות ובהן חישובים. החישובים הכילו טבלאות של סכומי מספרים, של ריבועים, טבלאות של ריבית שראוי לקחת, ואפילו תרגילי חשבון שמעידים על חישובים של ריבית דריבית. זו כמובן הפרשנות שלנו לְמה שרשום על החרסים. הכיתוב עצמו אינו מלֻווה בהסברים. בדרך כלל אפשר לשער את הצורך המסחרי של פעולות חשבון אלה, אך נמצאו גם חרסים ועליהם תרגילים שתכליתם לא ברורה. אחד החרסים מכיל תרגיל שבסימונים של ימינו יהיה מן הצורה
 

 
הסימון לחזקות של מספרים הוצע רק במאה השבע־עשרה, על ידי רְנֶה דקארט (Descartes)). תרגילי חזקות דומים נמצאו גם כן. ברור לכן כי הבבלים ידעו לבצע פעולות אריתמטיות הכרוכות בחזקות של מספרים, אך בשום מקום לא נמצאו הסברים כלליים, או נוסחאות, לפיהם בוצע החישוב. חרסים אחרים מכילים חישובים של שטחים, של אלכסונים במלבן ושל רדיוס מעגל. בתרגום לימינו נמצא כי בתרגיל אחד היחס בין היקף העיגול והקוטר של העיגול הוא 3. בתרגיל אחר היחס הוא 3 ושמינית. אלה ערכים לא רחוקים מהערך המדויק π שנמצא מאוחר יותר, אך אין כל עדות לכך שהבבלים ידעו או שיערו כי היחס בין היקף המעגל והקוטר הוא קבוע, או שניסו להוכיח זאת. המתמטיקה הבבלית חסרה כל יסוד של הוכחה, קפדנית או לא קפדנית.
 
אחד החרסים המפורסמים ביותר שנמצא בניפור ידוע בשם פּלִימפטוֹן 322, מספר הלקוח מתוך הקטלוג של החרסים באוסף אוניברסיטת ייל. בטבלה שלהלן מוצגת השלָמָה של הטבלה שבחרס פלימפטון (בחרס עצמו העמוד השמאלי חסר):
 

 
החרס מתוארך לסביבות 1800 לפני הספירה. לא קל לפענח את הכתוב בו, אבל הפירוש המקובל הוא כי למעט שלוש שגיאות, שגם אותן אפשר להסביר כטעויות סופר, החרס מציג את שני המספרים האחרונים של שלשות פיתגוריות, כלומר, שלשות של מספרים שלמים וחיוביים המקיימים את השוויון . הקשר למשפט פיתגורס (שבו נדון מאוחר יותר) ברור: המשוואה תקפה לגבי שני הניצבים והיתר של משולש ישר זווית. אנחנו רואים שהבבלים של לפני כמעט ארבעת אלפים שנה הצליחו לזהות תבנית בין מספרים, לחשב ולהציג שלשות פיתגוריות של מספרים גדולים מאוד. ישנן גם ראיות לכך שהבבלים הבינו את המשמעות הגיאומטרית של שלשות פיתגוריות. נמצאו חרסים שבהם תרגילים כמו: מוט ניצב ליד קיר וקצהו מגיע לגובה של 13 אמות, קצהו מחליק למטה אמה אחת, מהו המרחק של בסיס המוט מהקיר? הפיתרון, כלומר 5, מתקבל דרך שימוש בשלשה הפיתגורית 5, 12, 13. בכל התרגילים מסוג זה שנמצאו, נראה שנעשה שימוש בשלשות שחושבו קודם לכן. אין כל ראיה לנוסחה או לשיטה שבה השתמשו הבבלים כדי לחשב שלשות אלה, ואין ראיה לכך שהבבלים הביעו השערה לגבי הכלליות של הקשר הזה.
בנוסף להעדר של קפדנות בניסוח והוכחה, נראה היה כי הבבלים אף לא הקפידו על דיוק בחישובים. בטבלאות של מכפלת מספרים מוצאים טעויות שברור כי הן נובעות מכך שהכותב לא ייחס חשיבות לתוצאה המדויקת. תוצאה מקורבת, שתספיק לצרכים שימושיים, סיפקה אותו. המתמטיקה היתה כלי שימושי, לא נושא עיוני לשמו.
 
גם הסינים פיתחו מתמטיקה מתקדמת למדי לזמנה והשתמשו בה. היא פותחה מאוחר יותר מאשר זו הבבלית והמצרית (בה נדון בפיסקה הבא), וללא קשר ישיר עם תרבויות אלה. הידע שלנו על המתמטיקה הסינית מתבסס על כתבים הודיים מהמאות הראשונות לספירה, שעובדו על ידי הערבים בתקופה מאוחרת יותר של האלף הראשון לספירה. הן ההודים והן הערבים היו מודעים למתמטיקה שפותחה בבבל, במצרים ולאחר מכן ביוון, וצריך להביא זאת בחשבון כאשר בוחנים את הפרשנות שלהם לגבי המתמטיקה בסין. נתעכב רק על יסוד אחד, והוא ההתייחסות לקשרים בין הצלעות של משולש ישר זווית, או בין הצלעות והאלכסון של מלבן. בדומה לטקסטים הבבליים, טקסטים סיניים המלוּוים באיורים, והמיוחסים למאה ה־12 לפני הספירה, מדגימים מספר רב של תרגילים בחישוב אורכים ושטחים המבוססים על היחסים המופיעים במשפט פיתגורס. למשל: מוט עץ צמוד לקיר וגובהו 6 קאו (מידת אורך סינית); מרחיקים את בסיסו מהקיר למרחק של 2 קאו. לאיזה גובה יגיע ראש המוט השעוּן? ספרי הלימוד הללו מדגימים כיצד אפשר למצוא את הגובה שאליו מגיע המוט המושען, וכך במספר גדול של בעיות קונקרטיות עם מספרים נתונים. ברור שלכותבי הטקסטים היתה שיטה כללית ולפיה פעלו, אך אין כל ראיה לכך שניסו להוכיח כי שיטתם נכונה תמיד, או אפילו לנסח את השיטה בצורה כללית.
 
הממלכה המצרית מתוארכת החל מסביבות 4200 לפני הספירה. הממלכה שלטה, תחת שושלות שונות, עד הכיבוש היווני במאה הרביעית לפני הספירה. אין עדויות ישירות אודות מתמטיקה שפותחה במצרים בתקופות הראשונות, אבל אפשר להסיק על רמת המתמטיקה של המצרים מעדויות לא ישירות. בניית הפירמידות, למשל, הצריכה ידע הנדסי רב ויכולת חישובית מפותחת מאוד. הפירמידה הגדולה של גיזָה בפאתי קהיר הוקמה בסביבות 2560 לפני הספירה. זו פירמידה שבסיסה מרובע, וכאשר מחלקים את היקף הבסיס בפעמיים הגובה מקבלים קירוב מרשים ביותר של π. ספק אם הדבר מעיד על רמז שהשאירו בוני הפירמידה לכך שהם אכן ידעו מהו π. בניית מקדש אבו סימבֶּל שבדרום מצרים - אגם נאסְר של היום - הצריכה ללא ספק ידע רב הן בהנדסה והן באסטרונומיה. פעם בשנה, בשעת הצהריים, האירו קרני השמש את פסל המלך רעמסס ה־II. רבים מִתְפַּעלים מהגודל העצום של הפירמידות ותוהים איך אפשר היה לבנות אותן באמצעים שהיו אז למצרים. אינני מתפעל יתר על המידה מהגודל של המבנים המצריים. תל של טֶרְמיטים בימינו הוא עצום לא פחות, יחסית לגודל הטרמיטים, ומבחינה הנדסית מסובך אף יותר, וזאת כיוון שהטרמיטים מביאים בחשבון את כיווּני הרוח, את סכנות ההצפה שבאזור, הם דואגים לאוורור ראוי למחילותיהם, וכדומה. אנחנו מבינים כיצד האבולוציה הביאה את הטרמיטים ליכולות בנייה שכאלה. מפאת הזמן שעבר אנחנו מבינים פחות את שיטות הבנייה של מלכי מצרים, ולכן מתפעלים מהתוצאה. אני מתפעל הרבה יותר מן היכולת המצרית לבנות מבנה גדול כל כך ולכוון את הפתח לכיוון השמש כך שתאיר את פסל המלך בדיוק פעם בשנה. שיטת ניסוי וטעייה, שהיא בסיס לַהתפתחות האבולוציונית, לא תעזור הרבה בבניית מקדש שבו פסל השליט יואר רק פעם אחת בשנה. ההבנה המצרית בהנדסה, והחישובים שאותם בלי ספק ידעו לבצע, הם שהביאו את המצרים להישג האינטלקטואלי המרשים הזה.
הידע הישיר שלנו על המתמטיקה המצרית שאוב ממספר לא גדול של פפירוסים שהשתמרו. גם הפפירוסים המצריים מספקים שלל תרגילים. אחד הפפירוסים המפורסמים נקרא פפירוס רַיינד (Reind Papirus), על שם הארכיאולוג הבריטי שגילה אותו בשנת 1858, או פפירוס אָהמֶס (Ahmes), על שם האיש - כנראה מורה מצרי קדום - שכתב אותו. הפפירוס נמצא במוזיאון הבריטי שבלונדון. הוא מציג מספר רב של תרגילים בחיבור מספרים, בפתירת משוואות עם כמה נעלמים, וכיוצא באלה. הכתב שבו השתמשו המצרים הקדמונים היה כתב החרטומים, שהיה מורכב בעיקרו מציורים המבטאים בדרך כלל מילים ולפעמים הברות או אותיות. כתב החרטומים נמצא בדרך כלל חרוט על לוחות אבן. במקביל התפתח כתיב פשוט, או עממי יותר, הכתב ההיראטי, אותו רשמו בדיו על הפפירוסים, ובו נרשמו גם התרגילים במתמטיקה שעל פפירוס ריינד. הכתב ההִירָאטִי נרשם מימין לשמאל, כמו העברית והערבית של ימינו, והמספרים נרשמו על בסיס עשר, אולם למיקום הספרה לא היתה חשיבות. כך, למשל, ∩ סימן עשר ואילו _ סימן ארבע. בהתאם, את המספר עשרים ושמונה ניתן היה לסמן ∩∩_ _. היו סימנים מיוחדים לשברים פשוטים, אבל לא היה סימן המציין חיבור של מספרים. כאשר היה צורך לסכם מספרים, נרשמו אלה זה לצד זה ועל הקורא היה להבין מן ההקשר את הצורך לסכם אותם. שוב, כמו אצל הבבלים, אנחנו רואים כי היחס לטקסט המתמטי היה כמו היחס לשפה, כלומר ללא צורך להקפיד יותר מכפי שמקפידים בשפה הכתובה הרגילה.
תרגיל מפורסם מפפירוס ריינד מציג 7 בתים, 49 חתולים, 343 עכברים, 2401 שקי חיטה, 16807 משקולות, וכתשובה, המספר 19607. נשים לב שמדובר בסכום של חזקות של המספר 7, כלומר,  ולכן אפשר להניח כי המצרים ידעו לסכם חזקות של מספרים. איננו יודעים כיצד עשו זאת. לא מוצגת כל נוסחה כללית לסיכום שכזה, או לתרגילים אחרים. הקורא, או הלומד, צריך היה כנראה להכליל מתוך הדרך שבה נפתרו הדוגמאות כיצד לפתור דוגמאות אחרות. הוכחות לנכונוּת הפיתרון גם הן אינן בנמצא.
היכולות ההנדסיות של המצרים מלמדות גם הן על הידיעה המתמטית בגיאומטריה. כמו כן, הפפירוסים מציגים תרגילים לחישוב שטחים. מתרגיל של חישוב שטח עיגול מסוים אפשר לחלץ מהו הערך שהמצרים נתנו בחישובים שונים ליחס π שבין היקף מעגל והקוטר שלו. לדוגמה, באחד החישובים הערך הוא:  בריבוע, השווה בקירוב ל־3.16049. זהו קירוב טוב למדי לערך הנכון, אלא שלא מוצגת הוכחה, או שיטה כללית, ואין ראיה לכך שהמצרים ידעו או בכלל שיערו שהיחס שבין היקף מעגל וקוטר המעגל הוא קבוע.
 
7. ואז הופיעו היוונים
המתמטיקה היוונית, שפותחה בערך בין שנת 600 לפני הספירה ועד עלייתו לשלטון של אלכסנדר מוקדון במאה הרביעית לפני הספירה, הציגה שינויים דרמטיים בגישה למתמטיקה ובשיטות לפיתוח, לניתוח ולשימושים שלה. הדרך שהותוותה בתקופה זו שימשה את היוונים עצמם במאות השנים הבאות, ונשארה כמעט ללא שינוי, השיטה המתמטית הדומיננטית מאז ועד ימינו. לפני שנציג בקצרה את ההתפתחויות, נעיר כי לאחר אלפיים וחמש מאות שנה של לימוד ועשייה לאור השיטות שהכניסו היוונים, לאחר דורות רבים שבהם התרגלנו לצורת ניתוח ודיון כזו, קשה לפעמים להעריך את עוצמת התפנית הדרמטית שאירעה אז. הדרך שנסללה על ידי היוונים נראית היום טבעית ומובנת מאליה, אבל הרעיונות החדשים היו בניגוד למה שניתן היה לצפות מפיתוח שהיסודות האבולוציוניים דומיננטיים בו. המתמטיקה היוונית היתה סטייה חדה מאלפי שנות עשייה מתמטית שקדמו לה, והציגה גישה הנוגדת במידה רבה לדרך המוכתבת על ידי אינטואיציה בריאה. לכן מובן גם מדוע הפיתוח וההטמעה של השיטה עצמה נמשכו מאות שנים של התרגלות לרעיונות החדשים. הפרק הנוכחי יציג את ההתפתחויות העיקריות מנקודת מבט זו. על הסיבות שהביאו את היוונים להניע את המהפכה הזו במתמטיקה נעמוד בפרק הבא.
בניגוד לבבלים ולמצרים, אין בידינו כתובים ישירים מהתקופה היוונית הקלסית. כתיבה התבצעה אז על פפירוסים, שיטה שנלמדה מהמצרים. הפפירוסים לא השתמרו. על התפתחות המתמטיקה בתקופה הקלסית אנו למדים מהערות הנמצאות בכתבים מאוחרים הרבה יותר, ומגירסאות מאוחרות של הכתבים העתיקים. גירסאות אלה היו העתקים של כתבים עתיקים, אך כמנהג הימים ההם המעתיק לא הקפיד לשמור על הטקסט כפי שהוא, וגם הרגיש חופשי לגרוע ולהוסיף, לתקן שגיאות, לגרום לשגיאות חדשות, וכדומה, הכול לפי הבנתו הוא את החומר. אפילו הספר המפורסם ביותר במתמטיקה, היסודות של אֶוּקלִידֶס, מוכר לנו בזכות גירסאות שנרשמו מאות שנים אחריו. המחקר ההיסטורי של התקופה מבוסס, במידת האפשר, על השוואת טקסטים מאוחרים שהועתקו על ידי מעתיקים שונים. התמונה המתקבלת אומנם אינה מפורטת, אך היא נראית בכל זאת שלמה ואמינה.
 
תחילת הרפורמה מיוחסת לתָלֶס בן העיר היוונית מִילֶטוֹס, הנמצאת בשטח טורקיה של היום, ולממשיכיו ותלמידיו במילטוס, אַנַאכּסִימַנדרוֹס ואַנַאכּסִימֶנֶס. תלס חי בין השנים 640 ו־546 לפני הספירה. האינפורמציה עליו היא ממקורות מאוחרים יותר. ההיסטוריון פְּלוּטארְכוֹס, בן המאה הראשונה לספירה, כותב על תלס כי הוא הפילוסוף הראשון שלא היה פוליטיקאי. במקום אחר נאמר כי תלס היה הראשון שהשתמש בחוכמתו לצרכים מעשיים. לא ברור איך לפרש דברים אלה בראי של זמננו, אך כנראה שתלס צבר הרבה כסף ממסחר. הוא הִרבה לנסוע בעולם העתיק, למד הן מהבבלים והן מהמצרים, ובילה מספר שנים במצרים. תלס התפרסם בכך שמדד את גובה הפירמידה של גיזה. השיטה שלו היתה לחכות עד שהצל של מוט, או של אדם, ישווה לגובה שלו, ואז, בעזרת שיקול של דמיון משולשים טען שהצל של הפירמידה שווה לגובה שלה. את אורך הצל אפשר היה למדוד ישירות, ומכאן מצא תלס את גובה הפירמידה. על בסיס הטיעונים הללו הוא פיתח גיאומטריה של משולשים דומים, וחישב בצורה דומה גודל של אוניות ומרחקן מהחוף. אבל הוא לא הסתפק בכך: תלס הוכיח שכל שני משולשים שבסיסיהם ושתי הזוויות מהבסיס שוות, הם עצמם חופפים. מכאן קצרה הדרך להוכחת נכונות של חישובי שטחים. חישובים דומים נעשו על ידי הבבלים, הסינים והמצרים, אבל אף אחד מאלה לא מצא לנכון להציג תורה כללית לגופים גיאומטריים כלשהם, ולהוכיח כי שיטת החישוב נכונה תמיד.
בין אם מושג ההוכחה הוצג לראשונה על ידי תלס ובין אם המושג רק יוחס לו מאוחר יותר, קשה להפריז במידת החלוציות של פעולה זו. אחרי שהשתכנעת כי טענה מסוימת נכונה, לחזור ולהוכיח אותה בצורה דקדקנית ומחמירה יהיה בזבוז של משאבים וזמן, לא כל שכן אם אתה מנסה להוכיח כי הטענה נכונה תמיד. טענות שלא הוכחו ייתכן שיהיו שגויות, אבל לא להרשות שגיאות באופן מוחלט פירושו לדרוש מאמץ שהתועלת הצומחת ממנו, בדרך כלל, לא מצדיקה אותו. הדרישה להוכחה מוחלטת היא מעמסה בתחרות האבולוציונית. לא בכדי מתמטיקאים במשך אלפי שנות פיתוח המתמטיקה שקדמה לתלס, לא טרחו לחזור ולהוכיח טענות שכבר השתכנעו בנכונותן. אך בעקבות הצעד הראשוני של תלס, והמשכו על ידי המתמטיקאים היווניים אחריו, התקבל מושג ההוכחה כנכס צאן ברזל של המתמטיקה.
 
צעדים מכריעים נוספים בעיצוב המושגים החדשים במתמטיקה נעשו על ידי פִּיתָגורַס ובית מדרשו. פיתגורס היה בן האי סַאמוֹס השוכן לא רחוק מחופי אנטליה שבטורקיה של היום. פיתגורס נולד, לפי המסופר, בשנת 572 לפני הספירה, ומקובל לחשוב כי היה תלמיד של תלס במילטוס. הוא נסע ללמוד במצרים, ועם חזרתו לסאמוס מצא שם משטר טירני, ולכן עבר לעיר קורטונה באיטליה, שהיתה אז בשליטת היוונים, וגם הקים את מסדר הפיתגוריים. למסדר נקשרו כל מיני כתרים של מסתורין, ולא ברור מה מיתוס ומה אמת בסיפורים אודותיו. המסדר היה מעורב בפוליטיקה המקומית בקורטונה, ויִיחֵס עצמו לשכבות העילית. על רקע זה התנגש עם הכוחות הדמוקרטיים שעלו בעיר, ופיתגורס עצמו נרצח, לפי המסופר, בשנת 497 לפני הספירה. חברי המסדר התפזרו בבתי מדרש שונים ביוון, אך המשיכו את פעילותם המתמטית במסורת הפיתגורית כמאתיים שנה. היה להם מנהג לייחס כל משפט חשוב או תוצאה מתמטית אחרת למייסד המסדר, כך שלא ברור מה תרם פיתגורס עצמו ומה צריך היה להיות משוּיַּךְ לממשיכיו.
אחת התרומות המפורסמות של פיתגורס למתמטיקה הוא המשפט הקרוי על שמו: במשולש ישר זווית סכום ריבועי האורכים של הניצבים שווה לריבוע אורך היתר. זה אחד המשפטים הידועים ביותר במתמטיקה, ועד היום התפרסמו כמה מאות(!) הוכחות שונות למשפט זה. מעבר לגילוי של התכונה הכללית הגלומה במשפט, התרומה העיקרית של פיתגורס במקרה זה היתה החיפוש אחרי תכונה כללית. כפי שראינו, הבבלים כבר הכירו שלשות פיתגוריות, כלומר שלשות של מספרים שלמים המקיימים את היחס במשוואת פיתגורס, והם יצרו רשימות של שלשות כאלה. הסינים השאירו הוראות כתובות איך לחשב אורך צלע מסוימת אם ידועות שתי הצלעות האחרות, וזאת בדוגמאות מספריות רבות וציורים של משולשים שונים. מהחישובים שהשאירו המצרים גם עולה כי הם הכירו את היחסים בין צלעות משולש ישר זווית בדוגמאות רבות של משולשים. והנה, לא עלה בדעת כל אלה לנסות ולשאול, האם היחס מתקיים לכל המשולשים ישרי הזווית, או להוכיח את נוסחת פיתגורס אפילו למשולשים שלגביהם חישבו את היחס הזה. הם ידעו על הקשר בין אורכי הצלעות, אבל השתמשו בו רק בהקשרים של החישובים המסוימים שהעסיקו אותם.

 
יתר על כן, הפיתגוריים (ואולי פיתגורס עצמו) לא רק הוכיחו את היחס בין צלעות המשולש, אלא חיפשו ומצאו נוסחה שממנה אפשר היה לחשב את כל השלשות הפיתגוריות.
 
◄ הנה הנוסחה (בסימונים המקובלים בימינו):
לכל שני מספרים שלמים u ו-v, כך ש-u גדול מ-v, נגדיר
 

 
חישוב פשוט מראה כי C2=A2+B2, כלומר A, B, ו-C הם שלשה פיתגורית. המתמטיקאים הפיתגוריים הוכיחו כי כל השלשות הפיתגוריות מתקבלות בצורה זו (הטענה כי אלה כל השלשות מופיעה בספרו של אוקלידס, אך ללא הוכחה).
 
שימו לב לקפיצה המחשבתית: הבבלים והסינים הציגו רשימות של הרבה שלשות פיתגוריות, היוונים מצאו נוסחה שתמַצה את כולן. הבבלים השקיעו מאמץ רב לגלות שלשות פיתגוריות, אך לא עלה על דעתם לחפש נוסחה שתחשב את כל השלשות הללו. אכן, מדוע שמישהו יתחיל לחפש את כל השלשות? לאיזה יתרון אבולוציוני יינתן ביטוי בצורך למצוא את כל המספרים הללו?
 
תרומה מושגית ראשונה במעלה של הפיתגוריים קשורה לשיטת ההוכחה. הם האמינו בקשר ההדוק שבין המספרים והגיאומטריה, ובכך שהעולם מורכב מהמספרים השלמים ומנות שלהם, כלומר שברים, או בלשונם של היוונים: גדָלים הניתנים להבעה. למרבה תדהמתם, כך מסופר, גילו שקיימים בעולם גדלים שאינם ניתנים להבעה, ובלשוננו, מספרים אי־רציונליים. גודל כזה הוא אורך האלכסון של ריבוע שאורך צלעותיו הוא 1. אחת הגירסאות מספרת כי הפיתגוריים שמרו את הגילוי הזה בסוד, ואף השליכו לים את חברם היפָּסוּס שהדליף את קיום המספרים הללו מחוץ לכותלי המסדר. סיפור אחר אומר שהיפסוס עצמו גילה את קיום המספרים האי־רציונליים והושלך לים בתואנה של כפירה, כיוון שגילויו מקלקל את בסיס האמונה שלהם ביחס למבנה העולם. בין כך ובין כך, החלק המעניין אותנו כאן הוא ההוכחה של הטענה. הנה היא צעד אחר צעד:
 
◄ א. נסתכל על המשולש הבנוי משתי צלעות ומהאלכסון של ריבוע שאורך צלעו 1.
 ב. לפי משפט פיתגורס, אורך האלכסון הוא שורש ריבועי של 2, שמקובל לסמנו 2√.
 ג. נניח שהטענה לא נכונה - שורש 2 הוא כן רציונלי, כלומר ניתן לכתיבה כמנה של שני מספרים שלמים חיוביים, נאמר .
 ד. אפשר להניח כי אחד משני המספרים הוא אי-זוגי (אחרת אפשר לחלק, ואם יש צורך אז לחזור ולחלק, את המונה והמכנה בשתיים, עד שאו המונה יהיה אי-זוגי או המכנה יהיה אי-זוגי).
 ה. נעלה בריבוע את  ולפי ההנחה שזה עתה הנחנו התוצאה היא 2, כלומר, מתקיים השוויון .
 ו. מכאן ש-a הוא מספר זוגי. לכן אפשר לכתוב אותו בצורה 2c.
 ז. הצבה של 2c במקום a בשוויון הקודם נותנת את השוויון 2b2=4c2.
 ח. חלוקה של שוויון זה ב-2 מביאה לשוויון b2=2c2 ומכאן למסקנה שגם המספר b הוא זוגי.
 ט. אבל בחרנו כך שלא מתקיים שהן a והן b זוגיים. הגענו לסתירה הנובעת מן ההנחה כי 2√ הוא רציונלי.
 י. מסקנה: ההנחה שניתן להציג את 2√ כמנה הביאה לסתירה, ולכן אנו מסיקים כי אי-אפשר להציג את 2√ כמנה, והוכחנו כי 2√ הוא מספר אי-רציונלי.
 
שיטת ההוכחה הזו נקראת הוכחה בדרך השלילה, או הוכחה על ידי סתירה. טיעון העושה שימוש בסתירה לא רק שהיה חדשני בזמנו במידה שקשה לתארה, אלא הוא גם נוגד לדרך שבה המוח האנושי מתפקד באופן טבעי. היכן יכול היה להתפתח טיעון המתחיל בביטוי "נניח שלא" כפי שהנחנו בצעד השלישי של ההוכחה? ינסה נא כל אחד מהקוראים להיזכר מתי, והיכן, מחוץ לשיעורי המתמטיקה, הגיע באופן אינטואיטיבי להלך מחשבה המשתמש בהנחה שמשהו אינו מתקיים. המחשבה האינטואיטיבית בנויה על אסוציאציות, על קשרים בין הסתכלות נוכחית לבין היכרות עם מצבים קודמים. מאורע שאינו קיים לא עולה באופן טבעי כאסוציאציה. לאחר שנים כה רבות של פיתוחים מתמטיים שאליהם הורגלנו, קשה להעריך את החדשנות שבגישה. ייתכן מאוד כי הסיבה האמיתית לכך שהפיתגוריים הסתירו את המימצא כל כך הרבה שנים היתה כי לא היו בטוחים לחלוטין בתקֵפות של הוכחה דרך סתירה. ההיסוס ביחס לתקפות של הוכחות כאלה עלה שוב בתקופה המודרנית, ועוד נגיע לכך בפרק שבו נדון ביסודות המתמטיקה.
 
המספרים הראשוניים הם מספרים טבעיים המתחלקים ללא שארית רק בעצמם ובמספר 1. הם היו מוכרים לפיתגוריים, שחקרו אותם בהרחבה. בין השאר היוונים הוכיחו כי יש אינסוף מספרים ראשוניים. ההוכחה פשוטה:
 
◄ א. נשים לב שכל מספר אפשר לרשום כמכפלה של ראשוניים; אלה נקראים הגורמים של המספר.
 ב. נכפיל n מספרים ראשוניים ונוסיף לתוצאה 1, ונקרא לתוצאה M.
 ג. אם M ראשוני, מצאנו מספר ראשוני נוסף על n אלה שהתחלנו עימם.
 ד. אם M אינו ראשוני, נרשום אותו כמכפלה של ראשוניים ונבחר אחד מגורמי המכפלה הזו.
 ה. הגורם הראשוני שבחרנו מחלק את M ללא שארית, ולכן הוא שונה מכל אחד מ-n המספרים הראשוניים שהכפלנו מלכתחילה. אכן, אלה מחלקים את M עם שארית 1.
 ו. כך, גם במקרה השני מצאנו מספר ראשוני נוסף על n הראשוניים שלקחו חלק בכפל.
 ז. מסקנה: מספר הראשוניים גדול מ-n. אבל n הוא מספר כלשהו, לכן מספר הראשוניים אינו סופי.
 
אך מדוע מישהו יתעניין בשאלה האם יש אינסוף ראשוניים? היכן באבולוציה השאלה האם יש מספר אינסופי של עצמים כלשהם תעלה כמשהו בעל ערך? ההתעניינות בתכונות המתמטיות של המספרים הראשוניים, וביניהן תכונות ללא שימושים נראים לעין, החלה אצל היוונים, נמשכה דרך דורות של מתמטיקאים, והיא חלק חשוב של המחקר המתמטי עד היום. בימינו נמצאו שימושים למספרים ראשוניים מחוץ לעניין המתמטי המופשט, כולל שימושים מסחריים, למשל להצפנה, שניפגש בהם מאוחר יותר. אבל במשך אלפי שנים היתה זו בעיקר התעניינות לשמה, מתמטיקה צרופה. אצל היוונים, כנראה, לא היה העיסוק במספרים סתם סיפוק של סקרנות, אלא אמונה כי כך יבינו טוב יותר את העולם שסביבנו.
 
הקפיצה הבאה בשינוי בהתפתחות המתמטיקה אצל היוונים נזקפת לאקדמיה האתונאית וליוצאיה, ובמיוחד למייסד האקדמיה אפּלָטוֹן, לחברו וידידו אֶוּדוֹקסוֹס, ולתלמידו של אפלטון, אריסטו. את התרומה המושגית של קבוצה זו אפשר לסכם בכך שהם גיבשו גישה המבססת את המתמטיקה על אקסיומות, והנסמכת על הלוגיקה כמכשיר עיקרי בשיטת ההוכחה הדדוקטיבית. כפי שננסה לשכנע כאן ובהמשך, שתי תרומות אלה מתנגשות עם האינטואיציה הטבעית של החשיבה האנושית.
אפלטון חי במאה החמישית והרביעית לפני הספירה, (427-347 לפני הספירה), והיה בן למשפחת אצולה של שליטים בעלי השפעה. הוא היה תלמיד של סוקרטס, מי שנחשב לאבי הפילוסופיה המערבית. בצעירותו היו לאפלטון שאיפות פוליטיות אך הוא זנח אותן, אולי כי ראה מה עלה בגורלו של סוקרטס שנידון למוות לאחר משפטו המפורסם, כאויב הדמוקרטיה האתונאית החדשה. אפלטון נסע בעולם העתיק, ביקר במצרים ובמושבות היווניות בסיציליה, שם התוודע למתמטיקה המצרית ולתלמידי פיתגורס. בשובו לאתונה ייסד את ה"אקדמיה" שלו, שכנראה באמת היתה האקדמיה הראשונה בעולם המערבי. לאקדמיה זו היתה השפעה מכרעת על התפתחות המדע והפילוסופיה של התקופה. אפלטון היה ביסודו פילוסוף, אבל התעניינותו במתמטיקה נבעה מאמונה כי האמת על מהות הטבע יכולה להתגלות רק דרך המתמטיקה. בשער האקדמיה אף הציב שלט, ובו האמירה המפורסמת: אין כניסה למי שאינו גיאומטריקן. יתר על כן, בהתאמה לפילוסופיה שפיתח בתחומים אחרים, הוא טען כי למתמטיקה, כלומר למימצאים המתמטיים, קיום עצמאי בעולם של אידאות שאינו קשור למהות הארצית שאנו חוֹוים יום־יום. בפרט, איננו ממציאים מתמטיקה אלא מגלים אותה. הדרך הנכונה לעשות זאת היא לנסח את ההנחות, שנקרא להן אקסיומות, והן שתשמשנה אותנו להסיק מהן בדרך לוגית, דדוקטיבית, את האמיתות המתמטיות. לצורך זה האקסיומות צריכות להיות פשוטות ומובנות מאליהן. ובמיוחד, רצוי להשתמש במספר קטן ככל האפשר של אקסיומות. במתמטיקה המודרנית מקובל (לא על כל החוקרים, יש לומר) כי החוקר יכול לבחור את האקסיומות שלו כרצונו. ספק אם היתה זו דעתו של אפלטון. הוא האמין שהאקסיומות הן הצינור המקשר בין האדם הארצי ובין האמת המתמטית, ולכן על האקסיומות להיות "אמיתיות", כלומר תואמות את המציאות בעולמנו, באשר הוא.
לנסח הנחות ולבחון מצב תחת הנחות מוסכמות מראש היא שיטת ניתוח מקובלת בימינו בתחומים רבים, גם מחוץ למתמטיקה. אך נשים לב כי שיטה זו מנוגדת לחשיבה האנושית הטבעית. קשה לראות כיצד האבולוציה נותנת יתרון לפרט האומר: איני רואה נמר בסביבה ומעתה אניח שאין נמר בשטח. איזה יתרון יצמח לאדם שמתעלם מתכונות מסוימות רק כי הוא לא הניח אותן? גם מתמטיקאים מקצועיים, האמונים על השיטה המבוססת על אקסיומות, אינם מסוגלים להגביל את האינטואיציה שלהם לאקסיומות. ראשית הם פותרים אינטואיטיבית את הבעיה העומדת לפניהם, או מנחשים דרך לפיתרון הבעיה, ורק אחר כך בודקים אם הפיתרון שלהם אכן הסתמך רק על האקסיומות, או גם על הנחות נוספות, או על תכונות שאינן מתיישבות עם האקסיומות. במקרה כזה עליהם לחפש פיתרון חדש.
בתקופתו של אפלטון נדונו גם בעיות מתמטיות מופשטות כמו ריבוע המעגל, חלוקת זווית לשלוש זוויות שוות, והכפלת נפח קובייה - הכול בעזרת סרגל ומחוגה בלבד. כלומר, היה זה ניסיון להגיע על ידי שרטוט, בסרגל ובמחוגה בלבד, מריבוע נתון לעיגול עם אותו השטח, וכדומה לגבי הבעיות האחרות.

 
הבעיות הללו היו מוכרות לפני תקופת אפלטון. בעיית ריבוע המעגל מיוחסת לפילוסוף אָנָקְסָאגוֹרָס, שהגה אותה בשבתו בבית הסוהר. השאלות קיבלו משנה תוקף בתקופתו של אפלטון, וזאת במקביל למאמץ לבסס את ההוכחות המתמטיות על מינימום של הנחות. ברבות השנים התברר כי אין אפשרות לבצע את המטלות האלה בעזרת סרגל ומחוגה בלבד. אבל ההוכחה המלאה היתה צריכה לחכות עד המאה התשע־עשרה. שאלות אלה ודומות להן משמשות מנוע ותמריץ למחקר מאז היוונים ועד היום.
ונשאלת השאלה: מה הניע את היוונים עצמם להתעניין דווקא בשאלות כאלה? אחד הסיפורים מתרץ את העניין שגילו בהכפלת נפח הקובייה בכך ששליט יווני קינא במתחרהו בעיר שכנה וביקש כי הבנאים יכפילו את נפח המָאוּזוֹליאוּם שעסקו בבנייתו. הסיפור אינו משכנע. שליט סביר לא היה כובל את הבנאים שלו להשתמש בסרגל ובמחוגה בלבד. מקור הרעיון שלא להשתמש בכל האמצעים שברשותך אינו בתחרות האבולוציונית. שוב, שווּ בנפשכם אדם קדמון בורח מנמר, ואומר לעצמו, נראה אם אני יכול לברוח רק על רגל אחת. פרטים כאלה לא ישרדו במאבק האבולוציוני. גירסה אחרת על מקור שאלות אלה נמצא בכתבים של ההיסטוריון פלוּטארכוס: בני האי דֶלוֹס פנו לאוֹרַקְל המקומי לעצה כיצד לגרום להפסקת המריבות התכופות בין התושבים לבין עצמם. תשובת האורקל (תשובה לא מפתיעה, יש לומר) היתה כי עליהם להכפיל את הנפח של מזבח אַפּוֹלוֹ. התושבים פנו לאפלטון בשאלה כיצד לבצע זאת, ואפלטון, בנימוק כי לאורקל יש ללא ספק כוונות מתמטיות ראויות, פירש את הוראת האורקל כבנייה עם סרגל ומחוגה בלבד (תשובה שגם היא אינה מפתיעה, כיוון שאפלטון היה מעוניין בקידום שיטתו הוא). בין כך ובין כך, שאלות שלכאורה אינן פרקטיות הן נחלת המתמטיקאים מאז ועד ימינו.
 
אוּדוֹקסוס, שחי בין 408 ל־355 לפני הספירה, נולד בעיר היוונית קְנִידוּס שבקפריסין ולמד אצל המתמטיקאי אַרכיטַס מבית מדרשו של פיתגורס. הוא נסע ללמוד במצרים, ובשנת 368 לפני הספירה הצטרף לאקדמיה של אפלטון באתונה. תרומותיו רבות ומגוונות. כאן נתרכז בכמה תרומות משמעותיות לפילוסופיה ולפרקטיקה של המתמטיקה. מקורן של שתים מהתרומות שלו הוא בחקר המספרים האי־רציונליים. בתקופה המדוברת היו ידועים כבר גדלים גיאומטריים רבים שאינם ניתנים להבעה כמנה של מספרים שלמים (אפלטון הראה כי השורשים של המספרים הראשוניים עד 17 אינם רציונליים). היום אנו קוראים גם לאלה וגם לאלה מספרים, אך אז לא היה ברור באיזה מובן הגדלים האי־רציונליים הללו הם מספרים. אודוקסוס פיתח תורה מתמטית ולפיה יש הבדל בין מספרים שבעזרתם מונים עצמים בדידים (הקרויים בימינו מספרים טבעיים) ומנות שלהם, ובין מספרים המודדים גדלים גיאומטריים. לשיטתו, יש פרשנות שונה לפעולות האריתמטיות של שתי המערכות. הפרשנות של הפעולות בין הגדלים הגיאומטריים - חיבור, כפל וכדומה - היא גיאומטרית. למשל, המכפלה 2√ ב־3√ מבטאת את שטח המלבן שאורכי צלעותיו הם 2√ ו־3√. לגבי מספרים טבעיים הוא הגדיר מנה של שני מספרים, למשל n חלקי m, כמספר הפעמים ש־m נכנס ב־n, ומכפלת שני מספרים, נאמר n ב־m, מייצגת מנייה של n איברים m פעמים. תוצאה של אבחנות אלה היתה הפרדה בין מקצוע הגיאומטריה ומקצוע האלגברה, או האריתמטיקה, הפרדה שגושרה רק במאה השבע־עשרה על ידי רנֶה דקארט. נשים לב שעד ימינו אנחנו משתמשים במושג הגיאומטרי "ריבוע" כאשר אנחנו מתייחסים למכפלה של מספר בעצמו. הצורך באבחנה בין שני סוגי המספרים הביאה את אודוקסוס להשתמש במושגים שעד ימינו משמשים כאבני יסוד של המתמטיקה: הגדרות ואקסיומות. הוא הגדיר מהו מספר רציונלי, הגדיר מהם נקודה, קו, אורך, וכדומה, וניסח במדויק מספר אקסיומות. זו כנראה אחת הפעמים הראשונות שבהן נעשה ניסיון להציג הגדרות מדויקות ואקסיומות.
הצורך לתת הגדרה מדויקת אינו טבעי. בשיחה בין בני אדם מסתפקים בכך שמגיעים למצב שבו המשתתפים יודעים במה מדובר, ולא "מבזבזים" זמן נוסף על הגדרה מדויקת של נושא הדיון. הקדשת מאמצים להגדיר מהם נקודה, קו, מישור, כאשר לכולם יש הבנה מה העצמים הללו מביעים, נראית מיותרת. פעולת ההגדרה נראתה כנראה מיותרת גם באלפי שנות פיתוח המתמטיקה שקדמה ליוונים, אבל היא לא נראתה מיותרת לאנשי האקדמיה באתונה. מהם ירשה המתמטיקה את הדרך הזו הנהוגה עד ימינו.
תרומה נוספת, טכנית בעיקרה, של אודוקסוס היתה שיטת המיצוי. השיטה היתה בגדר המשך לפיתוח של הפיתגוריים: לאחר שגילו כי מספרים אי־רציונליים אינם ניתנים לביטוי בעזרת מספרים שלמים, הם הראו כי מספרים אלה ניתנים לקירוב על ידי מנות של מספרים טבעיים. אודוקסוס פיתח שיטה לחישוב שטחים הסגורים על ידי עקומים כלליים, למשל עיגול, על ידי כך שמוציאים מתוכם מלבנים או גופים אחרים ששטחם קל לחישוב, וכך עד ש"ממַצים" את כל השטח שצריך לחשבו. כך אפשר לחשב את השטח בקירוב טוב. אודוקסוס היה קרוב מאוד, אך לא הגיע, למושג ה"גבול". זה פותח על ידי ארכימדס שנים רבות לאחר מכן, ומשמש עד היום כבסיס לחשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי. מעבר לתרומה הטכנית הגלומה בשיטת המיצוי, גם כאן, עצם ההצגה והניסוח של שיטה כללית היתה תרומה בפני עצמה.
 
השלישי בגלריה המפוארת של האקדמיה האתונאית היה אריסטו, תלמידו של אפלטון. אריסטו נולד בשנת 384 לפני הספירה, והיה, כמו אפלטון, בן למשפחת אצולה בעיר המקדונית סְטָגִירָה שליד סלוניקי. אביו היה רופא המלך המקדוני אַָמִינְטַס. בגיל צעיר עבר אריסטו לאתונה והיה תלמיד של אפלטון. בערוב ימיו של אפלטון, או אחרי מותו - אין הדבר ברור כל צרכו - עזב אריסטו את אתונה וייסד במקדוניה את האקדמיה המלכותית. עזיבתו היתה כנראה בעקבות חילוקי דעות על הכיוון המדעי של האקדמיה, וייתכן גם כי העובדה שלא הוא מונה למחליפו של אפלטון שיחקה תפקיד בהחלטתו. הוא גם חשש מרדיפות של האתונאים, שראו אותו כבן אויבתם אז, מקדוניה. באקדמיה המלכותית של מקדוניה לימד אריסטו, בין השאר, את אלכסנדר הגדול, מי שהפך לימים לשליט הבולט באזור העתיק כולו. לאחר כשתים־עשרה שנים שב לאתונה, ובה הקים מוסד לימודים משלו, הלִיקֵיאוֹן, שאת שרידיו אפשר לראות גם באתונה של היום. הוא מת בשנת 322 לפני הספירה.
תרומתו העיקרית של אריסטו למחשבה המתמטית החדשה היתה הפיתוח של הלוגיקה כמכשיר לניתוח ולהסקת מסקנות. כללי ההיסק (syllogisms) שניסח משמשים עד היום כבסיס ללוגיקה. לאחר שנים של התרגלות לכללים אלה, ניסוחם נראה פשוט, נכון, וללא אפשרות לערעור. אנחנו נטען כאן כי חלק מהכללים, הגם שבמחשבה מסודרת קל להסכים להם, אינם מתיישבים עם חשיבה אינטואיטיבית ועם שפת הדיבור כפי שהתפתחו באופן טבעי. נדון בכמה מהכללים עתה.
כמקובל, נסמן באותיות, למשל P או Q, פסוק, טענה. לעיתים נשתמש בכתיב מקוצר. לדוגמה, כאשר נכתוב "P גורר Q" נתכוון לפסוק "תמיד, אם P נכון אז בהכרח Q נכון". באותו אופן, נכתוב לפעמים "P" כאשר כוונתנו היא ש־P מתקיים ונכתוב "לא P" כאשר נתכוון כי P לא מתקיים. ("נכון" ו"לא נכון" הם, בשפה היותר שגורה אצלנו ביום־יום, מה שהלוגיקן מתכוון לו במילים "אמיתי" ו"שקרי", True, False).
הכלל האריסטוטלי הראשון נקרא מוֹדוּס פּוֹנֶנְס (Modus Ponens), והוא דוגמה לטענה לוגית אינטואיטיבית שסביר כי היא טבעית למוח כתוצאה מהאבולוציה. זה הכלל:
אם P גורר Q
ואם P מתקיים
אז Q מתקיים.
זהו טיעון מהסוג: אם יורד גשם המדרכה רטובה, יורד עכשיו גשם, ולכן המדרכה רטובה. הטיעון אינטואיטיבי, כי בחיי יום־יום של כל בעל חיים, ויהי נחות ככל שיהיה, ישנם סימנים לקיום יחס כזה. התנהגות פַּבְלוֹבִית היא מהסוג של מודוס פוננס: שמיעת צלצול מסמנת כי האוכל מגיע. מכאן ועד להיסקים מתמטיים מהטיפוס של מודוס פוננס הדרך לא רחוקה, ממש כמו אצל בעלי חיים ובני אנוש בשיגרה שלהם.
ההיסק הבא, מודוס טוֹלֶנְס (Modus Tolens), הוא מטיפוס אחר. זה הכלל:
אם P גורר Q
ואם Q לא מתקיים
אז P לא מתקיים.
זהו טיעון מהסוג: אם יורד גשם המדרכה רטובה, המדרכה לא רטובה, לכן לא יורד גשם. מבחינת ההיגיון המתמטי הטענה נכונה כמו קודמתה. אבל למוח קשה הרבה יותר לעכל אותה. הסיבה לקושי נעוצה באמירה שמאורע כלשהו אינו מתקיים. למוח קל לקבל אינטואיטיבית כי מאורע מתקיים, ולהסיק מכך מסקנות. להסיק באופן אינטואיטיבי מסקנות ממאורע שאינו מתקיים, קשה הרבה יותר. הרבה מאורעות לא מתקיימים, והאבולוציה לא הרגילה את המוח לסרוק את המאורעות שאינם מתקיימים ולהסיק מכך מסקנות.
צריך כמובן להבדיל בין שתי צורות של שלילה שנראות לכאורה שוות. הטענה "המדרכה לא רטובה" מיתרגמת ברמת המחשבה לטענה "המדרכה יבשה", אבל להסיק מהטענה שהמדרכה יבשה כי לא יורד גשם קל יותר מאשר להסיק כי לא יורד גשם מהטענה שהמדרכה לא רטובה. מכאן אפשר לגזור המלצה לכל מי שנושא דברים או מנסה לשכנע: המעֵט בתיאורים המבוססים על "לא".
הקושי בשימוש האינטואיטיבי בכללי ההיסק מוכר לאנשי הלוגיקה, ואלה פיתחו במשך השנים שיטות לאיתור וזיהוי שגיאות הנובעות מקושי זה - אלה נקראות כשלים לוגיים או כשלים היסקיים (syllogistic fallacies). נציג כאן דוגמה אחת, מהרבות הנמצאות בספרות, לכשל נפוץ. מישהו מצהיר:
בן תרבות לא קורא עיתונות צהובה
אני לא קורא עיתונות צהובה
והוא מתכוון בכך לרמוז או להכריז כי הוא בן תרבות. רבים אף יסכימו - באופן אינטואיטיבי - עם מסקנה זו. אך התכונה אינה נובעת באופן לוגי מההצהרות שלו.
הקשר בין שני כללי ההיסק שהדגמנו קודם לבן נעוץ בשני הכללים הבאים שנוסחו גם הם על ידי אריסטו. הראשון נקרא "השלישי הנמנע" (The law of excluded middle):
לכל טענה P, או שהיא נכונה, או שהיא לא נכונה, כלומר או P מתקיימת, או P לא מתקיימת.
הכלל השני הוא כלל הסתירה:
לא ייתכן שטענה היא גם נכונה וגם לא נכונה, כלומר, לא ייתכן גם P וגם לא P.
ההוכחה בדרך השלילה, שעסקנו בה תוך ציון הקושי להבינה באופן אינטואיטיבי, מבוססת על הכללים הללו. רוצים להוכיח P (כלומר, P מתקיים), ומראים שמתוך "לא P" מקבלים סתירה ולכן אפשר להסיק כי P נכון. זה נשמע פשוט, ובניתוח רגוע ומסודר הטיעון אכן פשוט, אבל שימוש אינטואיטיבי בעיקרון זה אינו פשוט כלל ועיקר. איזה יתרון אבולוציוני יהיה לבעל חיים שיפתח אבחנה אינטואיטיבית לעיקרון זה? כפי שנראה בהמשך, כלל השלישי הנמנע ישחק תפקיד מכריע בעיון ביסודות המתמטיקה במאה העשרים.
 
היו לאריסטו תרומות נוספות למתמטיקה, לפיזיקה ולפילוסופיה. נציג כמה מהן מאוחר יותר. כאן נזכיר את עיסוקו במושג האינסוף. המושג לא הופיע כלל בתרבויות המוקדמות יותר. כאשר התייחסו אז למונח אינסוף התכוונו כי האוסף גדול מכדי שנוכל לספור אותו או להכיל אותו. מושג האינסוף הטריד מאוד את היוונים, במיוחד כאשר דנו במבנה הפיזי של העולם: האם היתה התחלה לקיום העולם? האם יהיה קיים עד אינסוף? גם פרדוקס הדִיכוֹטוֹמִיה של זֶנון מהעיר אליאה, תלמידו של פַּרְמֶנִידס, מתייחס בעקיפין לאינסוף. נחזור לפרדוקס הזה בפרק 51, וכאן רק נזכיר שלפי הפרדוקס אדם ההולך למקום מסוים לא יגיע אליו לעולם, כי ראשית עליו לעבור את מחצית המרחק, לאחר מכן מחצית מן החצי הזה, עוד מחצית מהמרחק שנשאר, וכך הלאה אינסוף צעדים, כך שלעולם לא יגיע למטרתו. בעקבות הפרדוקס ושאלות פילוסופיות אחרות פיתח אריסטו תורת אינסוף שבמרכזה ההבחנה בין אינסוף פוטנציאלי ובין אינסוף אקטואלי, שהוא אוסף אינסופי. לדוגמה, המספרים הראשוניים הם אינסוף פוטנציאלי כי אפשר לזהות אוספים גדלים והולכים של מספרים ראשוניים. בשפת יום־יום אנו אומרים כי יש אינסוף מספרים ראשוניים, אבל לפי אריסטו, במתמטיקה אי־אפשר להתייחס לקבוצת המספרים הראשוניים כאל אובייקט מתמטי. בהכללה, אפשר להתייחס לאינסוף פוטנציאלי של עצמים, כלומר לאוספים הולכים וגדלים "עד אינסוף" של עצמים, אלא שאוסף אינסופי של עצמים אינו מושג מתמטי קביל לפי אריסטו. כפי שנראה בהמשך, הבחנה זו קנתה אחיזה במתמטיקה לאורך שנים רבות, ועיון מחדש במושגים אלה התחדש במתמטיקה של המאות התשע־עשרה והעשרים.
 
הסיכום של התרומות של המתמטיקה היוונית מהתקופה הקלסית ניתן על ידי אוקלידס. לא הרבה ידוע על חייו. הוא פעל בסביבות שנת 300 לפני הספירה, וייתכן כי למד באקדמיה האתונאית, אך רוב פועלו היה בעיר אלכסנדריה שבמצרים. הוא היה ממקימי המרכז האקדמי המפורסם בעיר זו. מנקודת מבט כרונולוגית הוא פעל בתקופה שלאחר התקופה הקלסית, אך פועלו הידוע במתמטיקה, ספרו יסודות (Elements), שהכיל במקור שלושה־עשר כרכים, סיכם בצורה מסודרת ומורחבת את הידע המתמטי שהתפתח ביוון הקלסית. יתר על כן, הספר ערך, ביסס והפיץ את הגישה החדשנית שהתפתחה בתקופה זו. מעבר לאיסוף מרשים של מימצאים מתמטיים, הפיתוח נשען על הגדרות, על אקסיומות, על הוכחות דדוקטיביות ועל כללי היסק מוגדרים. אין בידינו עותקים של הספר שנכתבו בתקופת אוקלידס עצמו. כל הגירסאות שנמצאו - המוקדמות ביותר הן מהמאה הראשונה לספירה, כלומר כ־400 שנה אחרי אוקלידס וגם אלה חלקיות בלבד - מכילות הערות, השלמות ותוספות של מעתיקי הספר. גירסאות מלאות מתוארכות רק מהמאה התשיעית לספירה. אך מן ההשוואות בין הגירסאות השונות ניתן להסיק, כי היה זה אוקלידס עצמו שסידר וערך את הספר לפי הנושאים השונים, נתן את ההגדרות, ביסס את דרכי ההוכחה, ומִסֵּד את הגישה כולה. לא לחינם הפך היסודות לאחד הספרים הנפוצים ביותר בעולם מאז ועד עתה, ותורגם כנראה למספר השפות הרב ביותר אחרי התנ"ך.
 
8. מה הניע את היוונים?
מה הביא את היוונים לשאול שאלות שתכליתן לא ברורה, ולנסות לענות עליהן בשיטות לא אינטואיטיביות?
סיבה אחת המוזכרת בספרות היא טכנית: היוונים מצאו שגיאות וסתירות בחישובים שונים אצל הבבלים והמצרים, וכדי ליישב אותן פיתחו מתמטיקה מדויקת יותר. אני לא משתכנע כי זו הסיבה. אם אתה מתלבט בין הנכונות של שני חישובים שונים, או מפקפק ביחס לדיוק של חישוב שנתקלת בו, סביר שתנסה לחשב בעצמך באופן מדויק יותר, כדי להגיע לתוצאה הנכונה. מה גם שהיוונים היו מודעים לכך שבתחומים רבים החישובים של הבבלים ושל המצרים היו מדויקים יותר מאשר החישובים שלהם עצמם.
השערה יותר מתקבלת על הדעת נעוצה במצב הפוליטי והכלכלי שיוון העתיקה היתה נתונה בו. אומנם היתה זו תקופה של מלחמות רבות, בין ערים ובין ממלכות קטנות שונות, אבל ככלל, התפיסה הדמוקרטית שלטה, והפילוסופיה הפוליטית והחברתית היתה מפותחת מאוד. באווירה שלעיון הפילוסופי יש חשיבות, כאשר אין שליט יחיד או ממשלה הדורשת מנתיניה להגיע להישגים מיידיים, כאשר אין ועדות ממונות על ידי ממשלה הקובעות עדיפויות במחקר, באווירה שבה מותר לשאול ולפקפק בכל דבר, ובה מחקר המוּנע על ידי סקרנות הוא מקצוע מוערך - אפשר להגיע להישגים כבירים אפילו אם הזמן שלוקח להפיק מהם תועלת הוא רב מאוד. נוסיף לזאת את העובדה שהתורמים העיקריים להתפתחויות המחקריות באו ממשפחות מבוססות ופעלו ללא בעיות פרנסה וקיום, מה שעזר להם כמובן לקדם כיוונים לא שגרתיים. תנאים אלה מסבירים כיצד התפתח מחקר בסיסי, אבל הם לא מסבירים מדוע הוא התפתח גם לכיוונים לא אינטואיטיביים ובניגוד למה שהאבולוציה אמורה לכוון אליו.
הסבר מתועד לכיוון שאליו הובילו היוונים נעוץ במה שקרוי אשליות. נרחיב בדבר, כיוון שלשיקולים מסוג זה תהיה משמעות גם בפרקים הבאים. היוונים היו מודעים לאשליות גיאומטריות, או אופטיות, ולכן ניסו להוכיח טענות מתמטיות בלי להסתמך על מראה עיניים בלבד, כלומר הם הרשו להסתמך רק על אקסיומות וטיעונים לוגיים. נציג שתי אשליות מפורסמות מתקופה מאוחרת יותר.
הראשונה קרויה אשליית מוּלֶר־לַיֵיר (Müller-Lyer), על שם המדען שהציג אותה בשנת 1889. באיור הבא, הקו העליון האופקי נראה קטן יותר לעין, למרות שלשני הקווים אורך שווה. ההסבר המקובל לתופעה הוא שבדרך כלל, בטבע, אנחנו רואים צורה הדומה לקו העליון ממבט מבחוץ: למשל, מבט מקרוב על צלע של קובייה תלת־ממדית; בעוד בקו התחתון אנחנו נפגשים בצד המרוחק של קובייה, ממבט מבפנים. המוח "מתקן", באופן שאינו נשלט, את האותות שהעין מקבלת, מקצר את הקו העליון ומאריך את התחתון, זאת כדי לקבל את האורך "הנכון".

 
הסיבה לכך נעוצה באבולוציה. לפרשנות המתקנת של האותות היה יתרון אבולוציוני, והיא טבועה בגנים. לכן אין אפשרות לשנות את הדרך שבה המוח מנתח את האינפורמציה. על ידי הפניית העין רק לקווים האופקיים ייתכן שנצליח לגרום למוח לראות כי הקווים שווי־אורך במצג מסוים, כמו באיור. אבל לא נצליח לתקן זאת לגבי קווים שיופיעו במצבים דומים ושהמוח מנתח אותם באופן ספונטני. יתר על כן, לא רצוי לגרום למוח לפענח בדרך אחרת את מה שהעין רואה, כיוון שאם נשנה את הדרך שבה המוח מנתח את הנתונים ניצור טעויות בכל המקרים הרבים שבהם הקו העליון אכן קצר יותר.
דוגמה שנייה היא אשליית פוגֶנדוֹרְף (Poggendorff), שהוצגה בשנת 1860. למסתכל לא מאומן באיור הבא, אין שני הקווים האלכסוניים נראים כנמצאים על קו ישר אחד. אבל בדיקה פשוטה תראה שאכן הם נמצאים על קו אחד. גם במקרה הזה יש הסבר לעובדה שהמוח מוביל ל"טעות". המוח התפתח כך שהוא משווה זוויות, לא קווים. הזוויות הנוצרות בין הקווים האלכסוניים והאנכיים מובילות את המוח ליצירת האשליה. כאן היא לא בגלל תיקון שהמוח מבצע לנתונים שמתקבלים, כלומר תיקון ל"תוכנה", אלא בגלל ה"חומרה" שבה המוח משתמש: האמצעי שבו המוח מסתכל על הגיאומטריה בעולם מביא לטעות. גם כאן אפשר לאמן את המוח להתגבר על הטעות במקרים ספציפיים, אך אין אפשרות לבצע תיקון שימנע את כל הטעויות מסוג זה.

 
אשליות כאלה העסיקו את האמנים והמהנדסים לדורותיהם, והם השתמשו בידיעה שלהם כדי להרשים את המתבונן באפקטים ויזואליים. חברי המתמטיקאי אָריגוֹ צֶ'לינָה (Cellina), בן העיר מילנו, הסב את תשומת ליבי לאולם שבכנסיית סן סַטירוֹ. הכנסייה נמצאת ברחוב טורינו מטרים ספורים מן הכיכר המרכזית של מילנו, כיכר הקתדרלה. הכנסייה נבנתה במאה החמש־עשרה. העומדים בפתח רואים לפניהם את האולם המרכזי, את מקומו של הכומר, או של המטיף, ומאחוריו אולם עמוק וגדול שתקרתו עטורה בציורים מעניינים. אבל אם תתקרבו למקום שבו עומד הכומר תראו שכל האולם שמאחוריו, על עומקו ותקרתו העטורה, הם אשליה אופטית מעניינת מאוד. מומלץ.
האפשרות לטעות של ראייה, לאשליה ויזואלית, העסיקה את היוונים במידה שהביאה אותם עד קיצוניות. כדי שלא להסתמך על מראה עיניים הם היו, למשל בהוכחות מתמטיות העוסקות במשולשים, מציירים לעיתים את המשולשים כך שצלעותיהם אינן קווים ישרים אלא קווים עקומים. המטרה היתה להסתמך על האקסיומות בלבד ולהימנע ככל האפשר מטעויות הנגרמות על ידי הראייה. אלא שאפילו היוונים לא יכלו להימנע מלהתייחס לרישום כלשהו. הציור, לכאורה, אינו רלבנטי כאשר מדובר בהוכחה דדוקטיבית המסתמכת רק על אקסיומות. אך כנראה המוח לא יכול לדון באקסיומות מופשטות ללא מטאפורה, או התייחסות למודל, או לניסיון מוקדם. תכונה זו - או אולי מגבלה זו - של המוח חוזרת ועולה כל פעם שהמתמטיקה המופשטת משמשת לתיאור של גיאומטריה או של תופעות טבע. בתיאור מתמטי של הטבע, כפי שנראה בפרקים הבאים, אף על פי שהמתמטיקה עומדת בפני עצמה ואינה באמת זקוקה למודל ויזואלי, המוח זקוק למודל או למטאפורה, כדי שיהיה מסוגל לנתח ולעכל את המתמטיקה.