למדוד את העולם

פרק 1
כיצד חישב יווני עם מקל את רדיוס כדור הארץ?
 

 
בניגוד לאמונה אשר רווחה בין מקצת הקדמונים, הארץ איננה צלחת גדולה הנישאת על גבם של ארבעה פילים הניצבים על שיריונו הקשיח של צב ענקי. היא גם אינה בעלת צורת כעך ואינה מצולע תלת־ממדי. הארץ עגולה ככדור. את האמת הקיומית הפשוטה הזו לומד היום כל עולל, אבל לפני אלפיים וחמש מאות שנה ההשערה בדבר כדוריות הארץ היתה חידוש עצום ומהפכני. כה מפתה לחשוב שהארץ שטוחה, האינטואיציה היומיומית לא מעניקה כל אינדיקציה שתורה אחרת. ובכל זאת, היו שחשדו שאנו חיים על פני כדור. מה עורר בהם ספק באשר למישוריות הארץ? אחד הרמזים שעורר כפירה בתפיסת הארץ כשטוחה הוא האופן ההדרגתי שבו נעלמות ספינות מעינו של הצופה על החוף: תחילה ייעלם גוף הספינה, אחר ייעלמו המפרשים ואחרון חביב קצה התורן.
 

 
הראשון שהעלה את ההשערה בדבר כדוריות הארץ היה איש חכם וצמחוני שחי ביוון במאה השישית לפני הספירה ושמו פיתגורס. באותם ימים לא היו מחשבים ניידים או כרטיסי אשראי, ספרים נקראו פפירוסים או מגילות קלף, ובמקום לכתוב במחברת סימנו בעזרת מקל בחול. כל זה לא הפריע לאנשי המדע תאבי הדעת לשאת ראשם אל על, לצפות בכוכבים, להעלות השערות ולהסיק מסקנות. בעת שהשמש זורחת, שוקעת או נסתרת מאחורי מסך דק של עננים, ניכרת בעליל גזרתה המעגלית. גם הירח של אמצע החודש העברי הוא עגול. פיתגורס הביט בחמה ובלבנה והרהר: אם שתיהן עגולות, אז למה שהארץ אשר עליה אנו חיים לא תהיה עגולה כמותן? יתרה מזו, בעת ליקוי ירח, כאשר הארץ עוברת בין הירח ובין השמש, ניתן להבחין בצלה של הארץ המוטל על הירח. צל זה הוא בעל מראה קשתי, כפי שנראה בצילום 1.1.
 

 
בנוסף על הסיבות שמנינו, היו ליוונים הקדמונים שתי סיבות נוספות לחשוד שכדור הארץ עגול. כבר אז ידוע היה היטב שכוכב הצפון נראה ליושבי צפון הארץ כנמצא כמעט היישר מעל לראשם בעוד שיושבי קו המשווה נאלצו להישיר מבט אל האופק על מנת לצפות בכוכב הצפון. כמו כן ידעו היוונים שבצפון יש ארצות שבהן נמשכת עלטת החורף חודשים רבים, ושעות האור בעונת החורף בארצות אלה מעטות ביותר. עובדות אלה רימזו על כדוריות הארץ, אך איש לא ידע אל נכון מהו גודלו של כדור זה.
כמאתיים שנים לאחר שפיתגורס הלך לבית עולמו החליט אֶרָטוֹסתֶנֶס היווני לקום ולעשות מעשה. ארטוסתנס נולד בקירנה אשר נמצאת כיום בלוב, והצטיין במתמטיקה ובכתיבת שירה. לפרנסתו עבד כספרן בספרייה העירונית של אלכסנדריה (ג'וב נחשק ביותר באותם ימים), ולתהילת עולם זכה בשל הדרך המקורית שהגה למדידת רדיוס כדור הארץ.
לארטוסתנס נודע כי בתאריך מסוים בשנה, בצהרי היום, השמש נמצאת בדיוק בניצב לקרקע מעל העיר אסואן שבדרום מצרים (מצב זה נקרא זֵנִית). הוא הבחין כי בצהרי אותו יום לא נופל צל בבאר עמוקה, והשמש מאירה את קרקעית הבאר. מצב הגומלין בין השמש והבאר באותו היום מתואר בשרטוט הבא:
 

 
העיר אסואן נמצאת על "חוג הסרטן", כלומר על קו הרוחב הצפוני ביותר שבו ניתן לראות את השמש בזנית. לאורך חוג הסרטן, 23˚ 26' 22", נראית השמש בזנית רק ב־21 ביוני, שהוא היום הארוך ביותר בשנה.
בתאריך זה, קרי ב־21 ביוני,* הצפין ארטוסתנס 800 קילומטרים עד אלכסנדריה, אשר שם, כך ידע, השמש לעולם אינה בזנית. בהגיעו לאלכסנדריה נעץ ארטוסתנס בקרקע מקל ארוך ומדד את אורך הצל. הוא ביצע את מדידתו בדיוק באותה שעה שבה השמש נמצאת ישירות מעל אסואן.
[*. בימיו של ארטוסתנס היתה נהוגה חלוקת חודשים שונה מזו הנהוגה כיום.]
מדידת אורך צלו של המקל סיפקה לו את כל הנתונים הדרושים כדי להסיק מהו רדיוס כדור הארץ ומה היקפו.
 

 

 
הזווית שמדד ארטוסתנס בין קצה הצל ובין המקל היתה 7.2 מעלות, וזו גם הזווית (המסומנת בשרטוטים 1.2 ו־1.3 באות α) במשולש ששניים מקודקודיו הן הערים אסואן ואלכסנדריה וקודקודו השלישי הוא מרכז כדור הארץ. 7.2 מעלות הן 1/50 מתוך 360 מעלות המהוות הקפה מלאה. בניסוח מתמטי זה נראה כך:
 

 
כלומר, כשם שהזווית 7.2 מהווה 1/50 מהקפה מלאה, כך המרחק בין אסואן ובין אלכסנדריה שווה ל־1/50 מהיקף כדור הארץ.
מרגע שהיקף כדור הארץ הנו בחזקת ידוע יהיה רדיוס כדור הארץ ידוע אף הוא כיוון שבכל מעגל מתקיים הקשר . במשוואה זו הוא ההיקף המעגל ו־R רדיוס המעגל. קשר מתמטי זה היה ידוע עוד בימי היוונים.
 
עד כמה היתה מדידתו של ארטוסתנס מדויקת?
על שאלה זו קשה להשיב, שכן היוונים הקדמונים נהגו למדוד מרחקים ביחידות המכונות "סטדיה". המרחק שמדדו היוונים בין שתי הערים הוא 5,000 סטדים. ארטוסתנס הסיק ממדידותיו שהיקף כדור הארץ הוא כ־250,000 סטדים, ומקובל כי סטדיה שווה בערך 185 מטרים. אם נאמץ הערכה זו, הרי שמדידתו העלתה שהיקף כדור הארץ הוא 46,250 קילומטרים, סטייה של כ־15% ביחס לערך הידוע כיום - 40,200 קילומטרים. הישג לא רע בכלל ליווני עם מקל, שחי בשנות המינוס מאתיים.
 
למדוד את רדיוס כדור הארץ בעשר שניות
לאחר שראינו כי די במקל למדידת רדיוס כדור הארץ, ניווכח עתה כי גם שעון עצר ובגד ים הם ציוד מספיק לביצוע המדידה. לשיטה אשר נתאר עתה יש גם יתרון רומנטי מובהק - אפשר לצפות בשתי שקיעות בערב אחד!
את המדידה מומלץ לבצע על חוף ים שוקט, שכן בתנאים אלו ניתן לצפות בשקיעות ללא הפרעה.
 
ביצוע הניסוי בשיטת "עשה זאת בעצמך"
יש לשכב בנחת על החוף ולהתבונן (מומלץ מבעד למשקפי שמש) בשקיעה. ברגע שבו נאבד קשר עין עם השמש שנעלמה אל מעבר לאופק, נלחץ על שעון העצר ונעמוד בזריזות על רגלינו. בגלל השינוי בזווית הצפייה, ישוב קצה גלגל השמש וייגלה לעינינו. ברגע שהשמש תיעלם בשנית נלחץ שוב על שעון העצר ומדידת הזמן תסתיים. ממדידת הזמן שחלף בין שתי השקיעות נוכל להסיק מה רדיוסו של כדור הארץ.
 

 
החישוב פשוט להפליא!
כדור הארץ משלים סיבוב מלא (360 מעלות) סביב צירו במשך יממה.
הזווית α היא הזווית שכדור הארץ הספיק להסתובב בחלוף זמן המדידה. את משך המדידה נסמן באות t, ונמדוד את t בשניות.
כיוון שיחס הזוויות שווה ליחס בין הזמנים, תתקיים המשוואה:
 

 
וממנה נקל לחלץ את גודלה של הזווית α
 

 
הקשר בין רדיוס כדור הארץ R, גובה עיני הצופה h והזווית α נתון במשוואה:
 

 
ומודגם בשרטוט הבא:
 

 
ולא נותר לנו אלא לחלץ מהמשוואה את רדיוס כדור הארץ:
 

 
הקורא החרוץ מוזמן לוודא כי אדם ממוצע קומה, שעיניו בגובה מטר ושבעים סנטימטרים, יצפה בשתי השקיעות בהפרש של 10 שניות. לאחר הצבת הנתונים במשוואות תתקבל זווית שגודלה:
 

 
ועל כן יוכל הקורא להסיק שרדיוס כדור הארץ שווה בקירוב 6,400 קילומטרים.
 
ומה יעשה מי שאין לו מקל ואין לו שעון עצר?
ובכן, אל דאגה. גם ללא מקל או שעון עצר ניתן למדוד את רדיוס כדור הארץ. לביצוע המדידה נזדקק הפעם ליאכטה עם תורן גבוה, עששית ודולפין מאולף (באל"ף ולא בעי"ן!).
 

 
יש להורות לדולפין לאחוז בעששית ולהישאר במקומו שבלב ים, ולהפליג מרחק של עשרה קילומטרים בערך, עד שלא ניתן יהיה לראות את העששית אפילו בעזרת משקפת. לאחר שהעששית נעלמת מן העין יש לטפס על התורן עד שנוכל להבחין בה שנית. כדי לחשב את רדיוס הארץ, די לנו לדעת מהו המרחק מקצה התורן אל העששית ועד לאיזה גובה טיפסנו על התורן כדי לשוב ולצפות פעם נוספת בעששית.
נסמן ב־X את המרחק בין קצה התורן לעששית, ב־h את הגובה מעל פני הים שאליו טיפסנו על התורן וב־RE את רדיוס כדור הארץ.
 

 
על פי משפט פיתגורס יתקיים:
נפשט את הביטוי:
וכיוון ש־
נקבל:
 
וכך ניתן לחשב את רדיוס כדור הארץ כפונקציה של מידת ההתרחקות מהדולפין ושל גובה הטיפוס על התורן.
 
ולסיכום הפרק
בספרו "עקרונות מתמטיים של פילוסופיית הטבע" הסביר ניוטון, כי סיבובו המתמיד של כדור הארץ סביב צירו יגרום לכך שהארץ תתרחב מעט בקו המשווה ותצטמצם בקטבים. בשנת 1736 יצאה משלחת חוקרים אל צפון שוודיה, על מנת לבדוק את טענתו של ניוטון. בין שאר החוקרים שבמשלחת היה גם האסטרונום והמתמטיקאי המלומד אנדרס צלסיוס, שעל שמו נקראות מעלות החום. המדידות שערכו החוקרים בלפלנד הושוו עם מדידות דומות באזור קו המשווה, והמסקנה היתה שניוטון צדק ושהארץ אכן לוקה בפחיסות קלה. מדידות עדכניות מראות שרדיוס כדור הארץ בקו המשווה ובגובה פני האוקיינוסים הוא 6,378 קילומטרים, ואילו הרדיוס בקטבים הוא 6,357 קילומטרים.