פתרונות של פרדוקסים

פתח דבר

ספר זה דן בפרדוקסים ובפתרונותיהם.
בשל אופיים החידתי ומאתגר המחשבה, מצד אחד, וכיוון שמצד שני אינם דורשים בדרך כלל ידע מוקדם, הפכו הפרדוקסים לתחום המושך ומעניין את כלל הציבור הרחב, ולא רק את אנשי האקדמיה שעוסקים בכך. מרבית הפרדוקסים אינם דורשים כל ידע מקצועי, אלא רק היגיון פשוט ושכל ישר, ובהתאם לכך רוב הספר מנוסח בשפה ברורה ומובנת לכול.
פרדוקס קלאסי הוא טיעון בעל הנחות הגיוניות, המוביל לאבסורד או לסתירה.
יש פרדוקסים, שאף על פי שתוכנם נראה הגיוני, אנו מגיעים לתוצאה בלתי הגיונית שנוגדת את השכל הישר, מבלי שאנו מצליחים להבין היכן הבעיה ולהשתחרר מאי-הנוחות והמבוכה שהגענו אליהן.
יש פרדוקסים שבהם מתקבלות שתי מסקנות שסותרות זו את זו (בלי אפשרות להעדיף אחת מהן על פני חברתה). בדרך כלל אנו נכנסים למעגל קסמים שבו מסקנה אחת מובילה למסקנה סותרת, וחוזר חלילה, ואיננו יכולים להשתחרר מן הלוּפ.
יש פרדוקסים שבהם אנו נמצאים בסיטואציה מסוימת ונדרשים לקבל החלטה, אך אין באפשרותנו לקבל החלטה, או שאנו נאלצים לקבל החלטה הנוגדת את רצוננו.
הפרדוקסים מתחלקים לקטגוריות שונות. בפרקים הבאים נתייחס לקטגוריות השונות, נדגים פרדוקסים מייצגים מכל קטגוריה ונַראה שיש להם פתרון. העיקרון המנחה של הספר הוא כי לכל הפרדוקסים יש פתרון, והסיבה לכך שהם נחשבים לפרדוקסים נובעת מטעות – גישה לא נכונה, אילוץ מיותר, או אי-הבאה בחשבון של נתון או של עובדה כלשהם.
בספר נציג את הפרדוקסים בתמציתיות ונַראה את הפתרון לכל אחד מהם. כאמור, הספר כתוב בשפה פשוטה ומובנת לכול, ואינו דורש ידע מוקדם.
במקומות שבהם הספר מתעמק בסוגיה כלשהי מעֵבֶר לניתוחה ולפתרונה, או עובר לניתוח ברמה טכנית, וכן בנספחים בסוף הספר, הגופן הוא כמוצג כאן. מי שאינו מעוניין, יכול לדלג על חלקים אלה, אך גם בקטעים אלה הדיון מנוסח בשפה מובנת ככל האפשר, עם מיעוט פרטים טכניים.
שתי המלצות חשובות בקריאת הספר:
בתום הצגת הפרדוקס, ולהגברת העניין וההבנה – מומלץ לעצור, לחשוב ולנסות לפתור את הפרדוקס, לפני שממשיכים לקריאת הפתרון.
לא כדאי לדלג בקריאה. מומלץ מאוד לקרוא מההתחלה עד הסוף לפי הסדר, משתי סיבות:
ראשית, באופן כללי הפרדוקסים מוצגים מן הקל אל הכבד.
שנית, ההבנה המושגת בפרקים האחרונים נסמכת על הקריאה בפרקים הקודמים. דילוג בין הפרקים עלול להחמיץ את התובנות המובאות כאן.
שפת היומיום ושפת הלוגיקה
במרוצת הקריאה בספר נפגוש פרדוקסים מקטגוריות שונות. סוג מיוחד הוא של אמירות פרדוקסליות. חשוב להבחין בין שני סוגים – אמירות קונקרטיות (בשפת היומיום) ואמירות לוגיות.
בשיחה קונקרטית בשפת היומיום, רבה העמימות. על פי רוב לא בִּמכוּון, וברמת בהירות המספיקה להבנה. המטרה העיקרית היא התקדמות השיחה, והתוכן מובן אד הוק בלא צורך בהסבר דקדקני וטרחני בכל משפט ומשפט. הדיוק והדקדקנות מוקרבים למען שטף השיחה וקידום העניין שבו דנים.
לעומת זאת, בלוגיקה הדיוק והדקדקנות חשובים. הם לב ליבה של הלוגיקה, והיא אינה סובלת כל סוג של עמימות. עקב כך לאובייקט לוגי יש ערך בינָרי, אחד משניים בלבד: הוא חייב להיות או נכון לחלוטין (מוגדר כ"אמת"), או לא נכון לגמרי (ואז הוא מוגדר כ"שקר") ואין מצבי ביניים. הלוגיקה אינה מכירה במצבים של "בערך", "כמעט", "קרוב לוודאי", "ייתכן ש..." הערכים בלוגיקה הם מוחלטים – נכון או לא נכון, ובשפת הלוגיקה: "אמת" ו"שקר".
חשוב לציין שאין הלוגיקה והמציאות היומיומית נוגדות זו את זו, אך מה שמאפיין את הלוגיקה וייחודי לה הוא חד-משמעיות מוחלטת. החד-משמעיות הזאת מאפשרת קיום מערכות לוגיות שבהן חוקים מדויקים ומוגדרים היטב.
בדרך כלל זורמת המציאות בצורה פרקטית, אך לעיתים המציאות נזקקת לַלוגיקה – במקרים שבהם יש צורך בפתרון קונקרטי חד-משמעי. מבחינה זו ניתן לומר כי הלוגיקה היא תחום ספציפי בתוך מרחב המציאות, והמציאות "נעזרת" בה בעת הצורך.
ייתכן שיהיה בלוגיקה אובייקט שהוא אמת במצבים מסוימים ושקר במצבים אחרים, אך הוא חייב להיות אמיתי לחלוטין או שקרי לחלוטין בכל מצב נתון. הלוגיקה פותרת מקרים כאלה באמצעות מערכת לוגית. למערכת כזאת יש קלט של מספר כניסות המייצגות את המצבים השונים, וקלט זה הוא של כניסות לוגיות טהורות: אמת או שקר (מוחלטים), והמערכת יוצרת את הפלט המתאים באמצעות משוואות לוגיות.
במאמר מוסגר: בזכות החד-משמעיות של הלוגיקה (כמו כל המתמטיקה, שהלוגיקה היא ענף שלה) ניתן לממש אותה בצורה מכנית (המכונות "אינן יודעות חוכמות"). זה הרקע להתפתחות האלקטרוניקה, המחשבים והתוכנה.
אם לא נאמר אחרת, ההתייחסות לאמירות פרדוקסליות לאורך הספר היא לוגית. במקרים שבהם ההתייחסות היא קונקרטית (בשפת היומיום), הדבר מצוין במפורש.

פרדוקס השקרן

הפרדוקס:
האיש מכרתים אומר: "אנשי כרתים הם שקרנים".
(אין חלילה כל פְּסול באנשי כרתים. ההתייחסות לכרתים נובעת מסיפור ספציפי של היוונים הקדמונים, שהתגלגל לברית החדשה, וזו הגרסה שדנו בה לאורך ההיסטוריה).
הבעיה: מדבריו משתמע שכל אנשי כרתים שקרנים, אבל אם כל אנשי כרתים שקרנים, גם הוא עצמו שקרן. מכאן מה שאמר הוא דבר שקר, כלומר אין זה נכון שהם שקרנים, אלא הם דוברי אמת. ובהיותו אחד מהם, גם הוא דובר אמת. אם כך, אמר אמת שאנשי כרתים שקרנים (כולל אותו עצמו), כלומר הוא עצמו שקרן. נכנסנו ללופ בלתי פתיר.

הפתרון:
פתרון הפרדוקס בגרסתו זו פשוט. האמירה השקרית אינה מחייבת שֶׁכָּל אנשי כרתים שקרנים. לא כולם שקרנים, חלק מהם דוברי אמת. יש בהם דוברי אמת ויש בהם דוברי שקר, כלומר ההשמצה שלו - שלפיה כל אנשי כרתים שקרנים - אינה נכונה, והוא עצמו אכן שיקר. אם כך, הגענו לפתרון, ולכן אין כאן פרדוקס.
לעומת הנ"ל, פרדוקס טהור של השקרן הוא המשפט "אני שקרן".
"אני שקרן": אם הוא שקרן אז המשפט שאמר הוא שקר, כלומר "אני שקרן" אינו נכון, והוא אינו שקרן. אם כך, הוא דובר אמת. אבל אם הוא אכן דובר אמת, אז האמירה שלו "אני שקרן" אמיתית ומציינת שהוא כן שקרן. אם כך, הוא משקר כשהוא אומר שהוא שקרן. מתוך השקר שלו נובע שהוא דובר אמת, ומאמירת האמת שלו נובע שהוא שקרן. נכנסו כאן ללופ בלתי פתיר בעליל – שתי מסקנות הסותרות זו את זו.
פרדוקס זה ("אני שקרן") קשה יותר. הוא מטופל ופתור פתרון שריר בהמשך הספר, בפרק "משפטים טריוויאליים".
הדיון לעיל הוא דיון לוגי, וכאן אנו רואים את ההבדל בין הלוגיקה ובין פרקטיקת היומיום.
בחיי היומיום אנו יודעים כי אין דוברי אמת טהורים – גם דוברי אמת משקרים (אם כי לעיתים רחוקות, או משקרים "שקרים לבנים"), ואילו שקרנים מושבעים, יקרֶה מדי פעם שיאמרו דבר אמת.
לעומת זאת, התייחסות לוגית היא טוטלית – שקרן משקר תמיד, ודובר אמת לא ישקר אף פעם, ואין טיפוסי ביניים או מצבי ביניים.