כשאיינשטיין טייל עם גדל

1
כשאיינשטיין טייל עם גֵדֶל  

בשנת 1933, כשהתגליות המדעיות הגדולות שלו כבר מאחוריו, בא אלברט איינשטיין לאמריקה. את עשרים ושתיים השנים האחרונות לחייו העביר בפּרינסטוֹן שבמדינת ניו ג'רזי, לשם הוזמן ככוכב, לכהן בסגל "המכון ללימודים מתקדמים". איינשטיין היה מרוצה למדי בסביבתו החדשה, ולא התרשם במיוחד מהיומרות הגבוהות שלה. "פּרינסטוֹן היא חלקת אדמה נהדרת, וגם שלולית משעשעת להפליא של מי אפסיים ובה אלילים זעירים עם רגלי גפרורים", העיר. שיגרת יומו היתה נפתחת בהליכה נינוחה מביתו, ברחוב מֶרְסֶר 112, אל משרדו במכון. באותה עת הוא כבר היה אחד האנשים המפורסמים ביותר בעולם - והמוּכּרים ביותר לציבור, עם רעמת השיער הפרועה והמכנסיים השמוטים המוחזקים בכתפיות.

עשור לאחר שהגיע לפּרינסטוֹן מצא לו איינשטיין חבר לטיולים, אדם צעיר ממנו בהרבה, מי שעל־יד איינשטיין המרושל נראה אלגנטי בחליפת פשתן לבנה ומגבעת תואמת. השניים נהגו לדבר בהתלהבות, בגרמנית, בטיולי הבוקר שלהם אל המכון, וגם בדרכם הביתה בסוף היום. האיש בחליפה אולי לא היה מוכר לרבים מאנשי העיר, אבל איינשטיין דיבר אליו כאל שווה, אדם אשר כמוהו התניע בכוחות עצמו בלבד מהפכה מושגית. אם איינשטיין העמיד על ראשם את המושגים היומיומיים שלנו בדבר עולם החומר, עם תורת היחסות שלו, לאיש הצעיר יותר, קוּרט גֵדֶל, היתה השפעה חתרנית באותה מידה על הבנתנו את העולם המופשט של המתמטיקה.

גֵדֶל, שמכונה לעיתים קרובות הלוגיקן הגדול ביותר מאז אריסטו, היה אדם מוזר, וברבות הימים גם טרגי. בעוד איינשטיין היה אדם חובב חברה ומרבה לצחוק, גֵדֶל היה רציני, נוטה להתבודד, ופסימיסט. איינשטיין, שהיה כנר חובב נלהב, אהב את בטהובן ואת מוצרט. לגֵדֶל היה טעם שונה לגמרי: הסרט האהוב עליו היה "שלגיה ושבעת הגמדים" של דיסני, וכאשר אישתו הציבה פסל של פלמינגו ורוד בחצר הקדמית של ביתם, הוא אמר עליו שהוא furchtbar herzig - "נורא מלבב". איינשטיין לא ריסן את תאוותו לבישול הגרמני הכבד; גֵדֶל ניזון מדיאטה חמורה של חמאה, מזון תינוקות ותרופות משלשלות. אומנם חייו של איינשטיין לא היו חפים מתסבוכות, אבל כלפי חוץ הוא היה אדם בעל מזג שמח וחש בנוח בכל מקום. לגֵדֶל, לעומתו, היו נטיות פּרנוֹאידיות. הוא האמין ברוחות; היה אחוז חרדה מהרעלת גזים של מקררים; סירב לצאת מהבית כל אימת שמתמטיקאים ידועי שם הגיעו לעיר, כפי הנראה מתוך חשש שהם עלולים לנסות להרוג אותו. "כל כָאוֹס הוא מַרְאית שגויה", טען בעקשנות - האקסיוֹמה הראשונה של הפּרנוֹאיד.

אף־על־פי שאנשי סגל אחרים במכון ראו בלוגיקן העגום דמות תמוהה ומרתיעה, איינשטיין אמר לאנשים שהוא הולך למשרד "רק כדי ליהנות מן הפּריבילגיה לחזור הביתה עם קורט גֵדֶל". אחת הסיבות היתה כנראה העובדה שגֵדֶל לא חש מאוים בגלל פירסומו הרב של איינשטיין ולא היסס לאתגר את הרעיונות שלו. כפי שאמר פיזיקאי אחר במכון, פְרימַן דַייסוֹן (Dyson), "גֵדֶל היה ... היחיד מבין כל העמיתים שלנו שהלך ושוחח עם איינשטיין כשווה אל שווה". אבל גם אם איינשטיין וגֵדֶל נתפסו כאילו הם מתקיימים במישור גבוה יותר משאר האנושות, הרי הם היו בה־בעת, במילים של איינשטיין, "מוצגים מוזיאוניים". אינשטיין מעולם לא קיבל את תיאוריית הקוונטים של נילְס בּוֹהר ושל וֶרנר הייזֶנְבּרג. גֵדֶל האמין שהַפְשָטוֹת מתמטיות הן ממשיות בדיוק כמו שולחנות וכיסאות, השקפה שהפילוסופים חשבו אותה כבר אז לנאיבית עד כדי גיחוך. הן איינשטיין והן גֵדֶל עמדו על דעתם שהעולם אינו תלוי בתודעה שלנו, ועם זאת הוא מאורגן באורח רציונלי ופתוח להבנה האנושית. מאוחדים על־ידי תחושה משותפת של בדידות אינטלקטואלית, הם מצאו נחמה זה בחברתו של זה. "הם לא רצו לדבר עם אף אחד", אמר איש אחר מסגל המכון. "הם רצו לדבר רק זה עם זה".

אנשים תהו על מה הם שוחחו. פוליטיקה היתה מן הסתם אחד הנושאים (איינשטיין, שתמך במועמד הדמוקרטי אֶדְלַיי סטיבנסון, ממש התמלא תיסכול כאשר גֵדֶל הצביע בעד אייזנהאואר ב-1952). ועוד עניין - פיזיקה בוודאי העסיקה אותם. לגֵדֶל לא חסרה בקיאות בנושא; הוא היה שותף לחוסר האמון של איינשטיין בתיאוריית הקוונטים, אבל הוא התייחס בספקנות גם לשאיפה של הפיזיקאי המבוגר ממנו להחליף אותה ב"תורת שדות מאוחדת" שתכנס את כל הכוחות המוכרים בתוך מסגרת מושגית דֶטֶרמיניסטית אחת. שניהם נמשכו לבעיות שהיו, במילים של איינשטיין, "בעלות חשיבות אמיתית", בעיות שנוגעות במרכיבים הבסיסיים ביותר של המציאות. גֵדֶל היה שקוע במיוחד בשאלת טבעו של הזמן, שהוא, כפי שאמר לְחבר אחר, השאלה הפילוסופית בה"א הידיעה. איך יכול דבר כל־כך "מסתורי, הנראה כסותר את עצמו, ליצור את הבסיס לקיום העולם ולקיומנו־אנו?". זה היה נושא שהיתה בו לאיינשטיין מידה מסוימת של מומחיות.

עשרות שנים קודם לכן, בשנת 1905, איינשטיין הוכיח שהזמן, כפי שהובן הן על־ידי מדענים והן על־ידי אנשים רגילים, הוא בדיה, פיקציה. וזה לא היה ההישג היחיד שלו באותה שנה. בתחילת השנה, איינשטיין בן העשרים וחמש עבד כמפקח במשרד פטנטים בעיר בֶּרְן, בשווייץ. קדם לכך כישלונו לקבל תואר דוקטור בפיזיקה, והוא ויתר באופן זמני על השאיפה שלו לקריירה אקדמית, ואמר לחבר אחד, "כל הקומדיה הזאת מתחילה לשעמם". הוא קרא זמן קצר קודם לכן ספר של אַנְרי פּואַנְקָרֶה (Poincaré), מתמטיקאי צרפתי בעל שם עולמי, שזיהה שלוש בעיות יסוד מדעיות לא־פתורות. הבעיה הראשונה נסבה סביב "האפקט הפוֹטוֹאלקטרי": איך אור אוּלטרה־סגול מתיז אלקטרונים מפני השטח של פיסת מתכת? השאלה השנייה נסבה סביב "התנועה הבְּרַאוּנית": מדוע גרגירי אבקת צמחים שמורחפים במים נעים לכל עֵבר בדפוס זיגזג אקראי? הבעיה השלישית נסבה סביב "האֶתֶר הזוהר־מעצמו" שעל־פי הסברה ממלא את החלל והוא מדיום שגלי האור נעים בתוכו, כפי שגלי קול נעים באוויר, או גלי הים נעים במים. מדוע הניסויים לא הצליחו להבחין בתנועת כדור הארץ דרך האֶתר הזה?

לכל אחת מן הבעיות האלה היה פוטנציאל לחשוף את מה שבעיני איינשטיין היתה הפּשטוּת המונחת בתשתית הטבע. הפקיד הזוטר האלמוני, שעבד לבדו, מנותק מהקהילייה המדעית, הצליח למצוא במהירות פתרונות לכל שלוש הבעיות. הפתרונות שלו הוצגו בארבעה מאמרים שנכתבו במרס, באפריל, במאי וביוני של שנת 1905. במאמר שלו מחודש מרס, על האפקט הפוֹטוֹאֶלֶקְטְרי, הוא הסיק שהאור נע בחלקיקים בדידים, שמאוחר יותר קיבלו את השם פוֹטוֹנים. במאמריו מאפריל ומאי, הוא ביסס אחת ולתמיד את הממשות של אטומים כשסיפק אומדן תיאורטי על הגודל שלהם והראה איך ההתנגשויות האקראיות שלהם גורמות לתנועה הבּראוּנית. במאמרו מיוני, על בעיית האֶתֶר, הוא הציג לראשונה את תורת היחסות שלו. ואז, כמעין הדרן, פירסם בספטמבר מאמר קצר במיוחד, בן שלושה עמודים בלבד, שהכיל את המשוואה המפורסמת של כל הזמנים: E = mc2.

על כל המאמרים האלה שרה מגע קסם והם הפכו על פיהן כמה הנחות יסוד מושרשות לעומק שעד אז משלו בקהיליית הפיזיקה. ועם זאת, בכל האמור ברוחב יריעה ובתעוזה, המאמר מחודש יוני התבלט בין כולם. בשלושים עמודים, כתובים בשפה תמציתית, הוא כתב מחדש את כל חוקי הפיזיקה. הוא פתח בשני עקרונות מוצקים ללא עוררין. ראשית, חוקי הפיזיקה הם מוחלטים, ואותם חוקים חייבים להיות תקפים עבור כל הצופים. שנית, מהירות האור היא מוחלטת; גם היא קבועה עבור כל הצופים. העיקרון השני, אף שהוא פחות מובן מאליו, מושתת על אותו היגיון. מאחר שהאור הוא גל אלקטרומגנטי (הדבר הזה היה ידוע כבר במאה ה-19), המהירות שלו נקבעת על־פי חוקי האלקטרומגנטיות; החוקים האלה חייבים להיות אותם חוקים עבור כל הצופים; לכן כל אחד אמור לראות את האור נע באותה מהירות, בלי קשר למסגרת ההתייחסות שלו. ובכל זאת, היה זה מהלך נועז מצד איינשטיין, לאמץ את עקרון האור, שכן התוצאות שלו נראו אבּסוּרדיוֹת.

נניח - רק כדי להכניס קצת חיים בסיפור - שמהירות האור היא מאה קילומטרים בשעה. נניח עוד, שאני עומד לצד הכביש ורואה קרן אור חולפת על פני במהירות הזאת. ואז אני רואה אתכם רודפים אחריה במכונית שנוסעת במהירות שישים קילומטרים בשעה. מנקודת המבט שלי, נראה שהאור מקדים אתכם בארבעים קילומטרים בשעה. אבל אתם, שנמצאים במכונית, בהכרח רואים את האור מקדים אתכם במאה קילומטרים בשעה, בדיוק כפי שהייתם רואים אותו אילו עמדתם במקום. זה מה שדורש עקרון המהירות של האור. ומה אם תיתנו גז ותגיעו למהירות של תשעים ותשעה קילומטרים בשעה? עכשיו אני רואה את קרן האור מקדימה אתכם רק בקילומטר אחד בשעה. אבל אתם, בתוך המכונית, עדיין תראו את האור מקדים אתכם במאה קילומטר בשעה, למרות שהגברתם את מהירות הנסיעה שלכם. איך זה ייתכן? מהירות, כידוע, שווה למרחק מחולק בזמן. מסתבר שככל שאתם נוסעים מהר יותר, סרגל המרחקים שלכם חייב להתקצר והשעון שלכם חייב לתקתק לאט יותר ביחס לשעון שלי; רק בדרך זו אנחנו יכולים להמשיך להסכים בינינו על מהירות האור. (אילו יכולתי לשלוף משקפת ולהסתכל במכונית הדוהרת שלכם, הייתי באמת רואה את האורך שלה מתקצר ואתכם נעים בתוכה בתנועה מואטת.) וכך, איינשטיין התחיל לצקת מחדש את חוקי הפיזיקה. כדי שהחוקים האלה יהיו מוחלטים, הוא הפך את המרחק ואת הזמן ליחסיים.

ההקרבה הזאת של הזמן המוחלט היתה ההחלטה המדהימה ביותר שלו. אייזק ניוטון האמין שהזמן הוא אוֹבּייקטיבי, אוניברסלי, וחורג מעל ומעבר לכל תופעות הטבע; "זרימתו של הזמן המוחלט אינה ניתנת לשום שינוי", הכריז בתחילת ספרו, פּרינקיפּיה מתמטיקה. איינשטיין, לעומת זאת, הכיר בכך שהתפיסה שלנו בדבר הזמן היא משהו שאנחנו עושים כהפשטה מן ההתנסויות שלנו עם תופעות שיש בהן קצב: פעימות לב, מסלולי התנועה והסיבובים של כוכבי הלכת, תקתוק השעונים. הכרעות בענייני זמן מתמַצוֹת בסופו של דבר בקביעוֹת לגבי סימוּלטניוּת. "אם, למשל, אני אומר, 'הרכבת הזאת תגיע לכאן בשעה 7 בדיוק' אני מתכוון למשהו מעין זה: 'ההצבעה של המחוג הקטן בשעון שלי על השעה 7, והגעַת הרכבת הם מאורעות סימולטניים'", כתב איינשטיין במאמרו מחודש יוני. אם המאורעות הנדונים מתרחשים במרחק מסוים זה מזה, אפשר לבדוק טענות על סימולטניות רק על־ידי שליחת אותות הלוך־ושוב בין שני המאורעות. על בסיס שני העקרונות שלו, איינשטיין המשיך והוכיח שהשאלה אם צופה קובע כי שני מאורעות מתרחשים "באותו זמן" תלויה במצב התנועה שלו. במילים אחרות, אין עכשיו אוניברסלי. כשישנם צופים שונים המחלקים את שדה הזמן ל"עָבָר", ל"הוֹוה" ול"עתיד" בדרכים שונות, נראה שנובע מכך שכל הרגעים מתקיימים ביחד באותה מידה של ממשות.

המסקנות של איינשטיין היו תוצר של מחשבה טהורה, ונבעו היישר מן ההנחות המחמירות ביותר אודות הטבע. במאה השנים ויותר שחלפו מאז הסיק אותן, הן קיבלו אישוש מדויק בניסויים חוזרים ונשנים. ובכל זאת, המאמר שלו מיוני 1905 על היחסות נדחה כאשר הגיש אותו בתור דיסרטציה לקבלת תואר דוקטור. (לאחר מכן הוא הגיש את המאמר מאפריל, על גודלם של האטומים - מאמר שהוא חשב כי ייראה פחות מבהיל בעיני הבוחנים; הם קיבלו אותו רק אחרי שהוסיף משפט אחד, כדי לעמוד בדרישה של אורך מינימלי של דיסרטציה.) כאשר הוענק לאיינשטיין פרס נובל בפיזיקה בשנת 1921, היה זה עבור עבודתו על האפקט הפוטואלקטרי. האקדמיה השוודית אסרה עליו להזכיר את תורת היחסות בדרך כלשהי בנאום שיישא עם קבלת הפרס. הדברים התגלגלו כך שאיינשטיין לא יכול היה להגיע לטקס בשטוקהולם. הוא השמיע את הרצאת נובל שלו בעיר גֶטֶנבּוֹרג, בנוכחות המלך גוסטב החמישי שישב בשורה הראשונה. המלך רצה לשמוע משהו על יחסות, ואיינשטיין נענה לרצונו.

***

בשנת 1906, השנה שלאחר "שנת הפלאות" (annus mirabilis) של איינשטיין, קוּרט גֵדֶל נולד בעיר בּרנוֹ (כיום בצ'כיה). קורט היה ילד חקרן - הוריו ואחיו כינו אותו der Herr Warum?, "אדון למה?" - וגם עצבני. כשהיה בן חמש נראה היה שהוא סובל מנוֹירוֹזה חרדתית קלה. בגיל שמונה סבל מהתפרצות איומה של חום רֶאוּמטי (במונחים של אותם ימים) שבעקבותיה, כך היה משוכנע עד יומו האחרון, נגרם לו נזק קטלני בלב.

גֵדֶל החל ללמוד באוניברסיטת וינה בשנת 1924. הוא התכוון ללמוד פיזיקה, אבל במהרה נשבה בקסמי יופיה של המתמטיקה, ובמיוחד כבש אותו הרעיון אשר לפיו לדברים מופשטים כמו מספרים ומעגלים יש קיום מושלם ואַל־זמני, קיום שאינו תלוי במוח האדם. הדוקטרינה הזאת - שנקראת פּלטוֹניזם משום שהיא נובעת מתורת האידיאות של אפלטון - היתה פופולרית בקרב מתמטיקאים מאז ומתמיד. אבל בעולם הפילוסופי של שנות העשרים של המאה ה-20 בווינה היא נחשבה למיושנת. בין התנועות האינטלקטואליות הרבות שפרחו אז בתרבות בתי הקפה העשירה של העיר, התבלטה במיוחד הקבוצה שנקראה החוג הווינאי, קבוצה של הוגים שהיו מאוחדים באמונתם שיש לנקות את הפילוסופיה מן המטאפיזיקה ולכונן אותה מחדש כמדע. בהשפעתו של לודוויג ויטגנשטיין, הגוּרוּ שלא־מרצונו של הקבוצה, תפסו חברי החוג הווינאי את המתמטיקה כמשחק שמשחקים באמצעות סמלים, גירסה מסובכת יותר, כביכול, של שחמט. מה שעושה לנכון פסוק כמו "2 + 2 = 4", כך הם טענו, הוא לא העובדה שהוא מוסר תיאור נכון של איזשהו עולם מופשט של מספרים, אלא העובדה שבתוך מערכת לוגית כלשהי אפשר לגזור אותו בהתאם לכללים מסוימים.

גֵדֶל הובא אל החוג הווינאי על־ידי אחד הפרופסורים שלו, אבל הוא לא דיבר על ההשקפות האפלטוניות שלו. מאחר שהיה בה־בעת דייקן מחמיר וגם סלד ממחלוקות, הוא לא אהב להתווכח על ההשקפות שלו אלא אם היתה לו דרך בטוחה, ללא פשרות, להוכיח את תקֵפותן. אבל איך אפשר להוכיח שאי־אפשר להעמיד את המתמטיקה (לעשות רֶדוּקציה) על המונחים והכללים של הלוגיקה? האסטרטגיה של גֵדֶל - שחוכמתה כמעט על־טבעית, וכדברי הפילוסופית רבּקה גולדשטיין, ניחנה ביופי עוצר נשימה - היתה להשתמש בלוגיקה נגד עצמה. הוא התחיל עם מערכת לוגית עבור המתמטיקה, שאנו מניחים כי היא חופשית מסתירות, והמציא שיטה מחוכמת שאיפשרה לנוסחאות של המערכת להתבטא במעין כפל־שפה; נוסחה שאמרה משהו על מספרים יכולה היתה, במסגרת השיטה, להתפרשׁ גם כאומרת משהו על נוסחאות אחרות ועל האופן שבו הן קשורות ביניהן ביחסים לוגיים.

כפי שגֵדֶל הראה, לאמיתו של דבר אפשר אפילו לגרום לנוסחה מספרית לומר משהו על עצמה. לאחר שבנה בסבלנות אין קץ את המנגנון הזה של מתמטיקה המתייחסת־לעצמה, הוא הציע תפנית מפתיעה: הוא יצר נוסחה אשר למראית־עין אמרה משהו על מספרים, ובה־בעת אמרה גם "אינני ניתנת־להוכחה". במבט ראשון זה נראה כפּרדוֹקס, המעלה בזיכרון את הסיפור המפורסם על האיש מכרתים שמצהיר כי "כל תושבי כרתים הם שקרנים". אבל הנוסחה המתייחסת־לעצמה של גֵדֶל אומרת על משהו שהוא ניתן־או־לא־ניתן־להוכחה, ולא אם הוא אמיתי או לא. האם אפשר שהיא משקרת כאשר היא מצהירה, "אינני ניתנת־להוכחה"? לא, מפני שאילו שיקרה, המשמעות היא שאפשר היה להוכיח אותה, מה שיעשה אותה לאמיתית. וכך, בקביעה שהיא אינה ניתנת־להוכחה, היא חייבת לומר את האמת. אבל את האמת של הפסוק הזה אפשר לראות רק מחוץ למערכת הלוגית. בתוך המערכת, אין היא ניתנת־להוכחה וגם אין היא לא־ניתנת־להוכחה. המערכת היא אם כן, לא־שלמה (incomplete), מפני שיש בה לכל הפחות פסוק אמיתי אחד על אודות מספרים (זה האומר "אינני ניתן־להוכחה") שאי־אפשר להוכיח אותו בתוך המערכת. המסקנה - ששום מערכת לוגית אינה יכולה לכלול את כל האמיתוֹת של המתמטיקה - ידועה בשם משפט אי־השלמות הראשון. גֵדֶל גם הוכיח כי שום מערכת לוגית של מתמטיקה אינה יכולה להראות, במונחיה־היא בלבד, שהיא עקבית באופן מלא, תוצאה המוכרת בשם משפט אי־השלמות השני.

ויטגנשטיין הכריז פעם ש"לעולם לא ייתכנו הפתעות בלוגיקה". אבל משפטי אי־השלמות של גֵדֶל היו בהחלט הפתעה. ובאמת, כאשר הלוגיקן הצעיר הציג אותם בוועידה בעיר קֶניגְסְבּרג שבגרמניה בשנת 1930, איש כמעט לא היה מסוגל למצוא בהם את הידיים והרגליים. מה פירוש האמירה שפסוק מתמטי הוא אמיתי אם אין אפשרות להוכיח אותו? עצם הרעיון נשמע אבּסוּרד גמור. אפילו מי שנחשב אז הלוגיקן הגדול של דורו, ברטרנד ראסל, היה במבוכה: הוא כנראה קיבל את הרושם המוטעה שגֵדֶל מצא חוסר עקביות במתמטיקה. "האם מצופה מאיתנו לחשוב כי 2 + 2 הם לא 4 אלא 4.001?", שאל ראסל הנואש כעבור כמה עשורים, והוסיף שהוא "שמח [שהוא] כבר לא עוסק בלוגיקה מתמטית". כשהמתמטיקאים החלו להפנים את משמעות המשפטים של גֵדֶל, מילים כמו "כישלון מוחץ", "קטסטרופה", ו"סיוט" התחילו להיזרק מכל עבר. אחד מעיקרי האמונה של המתמטיקאים היה שבהיותם חמושים בהיגיון, הם יוכלו בעיקרון לפתור כל קושיה באשר היא - כי במתמטיקה, בניגוד לשאר המדעים שעליהם נאמר בהצהרה המפורסמת כי "איננו יודעים ולא נדע", אין דבר כזה: "לא נדע" [אין ignorabimus]. ועכשיו, המשפטים של גֵדֶל, כך נראָה, מוטטו את האידיאל הזה של ידיעה שלמה גם ביחס למתמטיקה.

גֵדֶל עצמו לא כך ראה את הדברים. הוא האמין שהוא הראה כי למתמטיקה יש ממשות איתנה החורגת מעל ומעבר לכל מערכת לוגית. אבל לשיטתו, הלוגיקה היא לא הדרך היחידה לידיעת הממשות הזאת; יש לנו משהו שהוא מעין תפיסה חוץ־חושית שלה, שהוא קרא לה "אינטואיציה מתמטית". הסגולה הזו של אינטואיציה היא המאפשרת לנו לראות, למשל, שהנוסחה האומרת "אינני ניתנת־להוכחה" חייבת להיות נכונה, גם אם היא דוחה כל אפשרות להוכחה בתוך המערכת שבה היא שוכנת. חלק מההוגים, כמו הפיזיקאי רוג'ר פֶּנְרוֹז (Penrose), הרחיקו לכת עם הנושא הזה וטענו כי למשפטי אי־השלמות של גֵדֶל יש השלכות עמוקות ביותר בנוגע לטבעו של מוח האדם. היכולות המנטליות שלנו, כך נטען, הן בהכרח חזקות יותר מאלה של כל מחשב באשר הוא, מפני שמחשב אינו אלא מערכת לוגית הפועלת על גבי חומרה, והמוחות שלנו יכולים להגיע לידיעת אמיתוֹת שהן מעבר להשגתה של מערכת לוגית.

גֵדֶל היה בן עשרים וארבע כאשר הוכיח את משפטי אי־השלמות שלו (צעיר מעט מאיינשטיין כאשר יצר את תורת היחסות שלו). באותה עת, למגינת ליבם של הוריו, הוא חיזר אחרי גרושה קתולית מבוגרת ממנו, אָדֶל שמה, אשר נוסף לכל עבדה כרקדנית במועדון לילה וינאי בשם Der Nachtfalter (העש). המצב הפוליטי באוסטריה הלך והתערער באותה עת עם עליית כוחו הפוליטי של היטלר בגרמניה, אם כי גֵדֶל ככל הנראה בכלל לא הבחין בכך. בשנת 1936 התפרק החוג הווינאי אחרי שמייסדו מוריץ שְלִיק נרצח על־ידי סטודנט חולה־רוח קנאי. שנתיים לאחר מכן הגיע האַנְשְלוּס (סיפוח אוסטריה לגרמניה הנאצית). גודל הסכנה חדר לבסוף לתודעתו של גֵדֶל כאשר כנופייה של צעירים נאצים היכו אותו ושברו לו את המשקפיים, לפני שאָדֶל הבריחה אותם במהלומות מטרייה. הוא החליט לעזוב את אוסטריה ולעבור לפּרינסטוֹן, שם הוצעה לו משרה במכון ללימודים מתקדמים. אבל בינתיים פרצה המלחמה, והוא חשב שיהיה מסוכן מדי להפליג באוקיינוס האטלנטי. לכן הזוג, שנישא בינתיים, יצא לדרך ארוכה בכיוון ההפוך, עבר את רוסיה, חצה את האוקיינוס השקט ונסע לרוחב ארצות הברית עד שהגיע לפּרינסטוֹן בתחילת 1940. במכון קיבל גֵדֶל משרד כמעט ישירות מעל למשרד של איינשטיין. במשך כל חייו לאחר מכן, הוא כמעט לא יצא מפּרינסטוֹן, שהיתה בעיניו "נעימה פי עשרה" מווינה שלו, העיר שאהב בעבר.

אף־על־פי שלא היה מוכר עדיין בעולם כולו, היה לגֵדֶל מעמד של כמעט־אל בקרב יודעי ח"ן. "שם הוא היה רשום, בלתי נתפס ממש, ק. גֵדֶל, בדיוק כמו כל שם אחר בספר הטלפונים הכתום־בוהק של קהיליית פּרינסטוֹן", כותבת רבקה גולדשטיין, שבאה לאוניברסיטת פּרינסטוֹן כתלמידת מחקר בפילוסופיה בתחילת שנות השבעים של המאה ה-20, בביוגרפיה האינטלקטואלית שכתבה, אי־שלמות: ההוכחה והפּרדוֹקס של קורט גֵדֶל (2005). "זה היה כמו לפתוח ספר טלפונים מקומי ולמצוא את השם ב. שפינוזה, או א. ניוטון" היא ממשיכה, ומספרת איך "ראתה פעם את הפילוסוף ריצ'רד רוֹרְטִי עומד אחוז תימהון קל בשוק המזון של דייווידסון: הוא אמר לי בקול שקט שזה עתה ראה את גֵדֶל במעבר בין מקררי המזון הקפוא".

הלוגיקן הדגול היה נאיבי ומנותק מן המציאות במידה כזו שאיינשטיין הרגיש חובה לעזור לו בעניינים הפרקטיים של חיי היומיום. סיפור אחד שמרבים לחזור עליו נוגע להחלטתו של גֵדֶל לקבל אזרחות אמריקנית אחרי תום המלחמה. גֵדֶל התייחס לסוגיית האזרחות ברצינות תהומית, ולמד לעומק את החוקה האמריקנית כהכנה לבחינה. ביום המיועד, איינשטיין ליווה אותו לבית המשפט בעיר טְרֶנְטוֹן, ונאלץ להתערב ולהרגיע את גֵדֶל כאשר הלוגיקן הנסער התחיל להסביר לשופט שבחוקת ארצות הברית יש פִּרצה שיכולה לאפשר עלייה של דיקטטורה במדינה (עוד על התקרית ראו במאמר "גֵדֶל מתעמת עם חוקת ארצות הברית" בספר הזה).

בערך באותה תקופה שגֵדֶל למד את החוקה, הוא גם בחן בעיון את תורת היחסות של איינשטיין. העיקרון המרכזי של היחסות אומר שחוקי הפיזיקה חייבים להיות זהים עבור כל הצופים. כאשר איינשטיין ניסח לראשונה את העיקרון במאמרו המהפכני מ-1905, הוא הגביל את "כל הצופים" לאלה שנמצאים בתנועה אחידה האחד ביחס לאחר - כלומר, תנועה בקו ישר ובמהירות קבועה. אבל די מהר הוא נוכח שההגבלה הזאת היא שרירותית. אם חוקי הפיזיקה אמורים לספק תיאור אוֹבּייקטיבי באמת של הטבע, הם צריכים להיות תקפים גם לצופים שנעים בצורה כלשהי האחד ביחס לאחר - מסתובבים סביב עצמם, מאיצים, נעים בסְפִּירָלה, או מה שלא יהיה. וכך עבר איינשטיין מתורת היחסות "הפרטית" שלו משנת 1905 לתורת היחסות "הכללית", שעל המשוואות שלה עבד במשך כל העשור הבא, ואותן פירסם ב-1916. מה שנתן למשוואות האלה את העוצמה האדירה שלהן היא העובדה שהן מסבירות את הכּבידה, הכוח המושל במבנה הכולל של היקום.

עשרות שנים לאחר מכן, בעת שגֵדֶל טייל עם אינשטיין, נפלה בחלקו הזכות לנבור ולהוציא את המורכבויות הדקות ביותר של תורת היחסות מן המסטר עצמו. איינשטיין הראה כי זרימת הזמן תלויה בתנועה ובכבידה וכי החלוקה של מאורעות ל"עבר" ו"עתיד" היא יחסית. גֵדֶל החזיק בהשקפה רדיקלית יותר: הוא חשב שהזמן, כפי שהוא מובן באופן אינטואיטיבי, אינו קיים כלל. כדרכו, הוא לא היה מוכן להסתפק בטיעון מילולי בלבד. הפילוסופים בכל התקופות, מאז פַּרְמֶנידס בעת העתיקה, דרך עמנואל קאנט במאה ה-18, ועד ג'.מ.א. מק'טגארט (McTaggart) בתחילת המאה ה-20, העלו טיעונים כאלה, שלא הניבו מסקנות ברורות. גֵדֶל רצה הוכחה שיהיו לה הדייקנות המחמירה והוודאות של הוכחה מתמטית. והוא ראה בדיוק את הדבר שחיפש, נחבא בתוככי תורת היחסות. הוא הציג את הטיעון שלו לפני איינשטיין כשי ליום הולדתו השבעים, בשנת 1949, מלוּוה בהדפס (אישתו של גֵדֶל סרגה לאיינשטיין סוודר, אבל החליטה לא לשלוח אותו).

הדבר שגֵדֶל מצא, זו האפשרות של יקום שעד אז אי־אפשר היה לדמיין את קיומו. המשוואות של תורת היחסות הכללית ניתנות לפתרון בכמה דרכים. כל פתרון הוא למעשה מודל של היקום כפי שהוא עשוי להיות. איינשטיין, שסבר מטעמים פילוסופיים כי היקום הוא נצחי ואינו משתנה, התעסק עם המשוואות שלו ותיקן אותן כך שהן יניבו מודל כזה - מהלך שמאוחר יותר הוא כינה "הטעות הגדולה ביותר שלי". פיזיקאי אחר (ז'ורז' לֶמֶטְר - כומר ישועי, דרך אגב) מצא פתרון שמתאים ליקום מתפשט שנוצר ברגע מסוים אי־אז בנקודת זמן מוגדרת בעבר הרחוק. מאחר שהפתרון הזה, שנודע מאוחר יותר בשם "מודל המפץ הגדול", עלה בקנה אחד עם תצפיות שנעשו על־ידי אסטרונומים, נראה היה שהוא אכן מתאר את היקום כפי שהוא במציאות.

אבל גֵדֶל מצא פתרון מסוג שלישי למשוואות של איינשטיין, כזה שעל־פיו היקום לא מתפשט אלא נע במעגלים. (הכוח הצנטריפוגלי שנוצר עקב הסיבובים הוא זה שמחזיק את כל הגופים במקומותיהם ומונע את קריסתם פנימה בהשפעת הכבידה.) צופה ביקום הזה יראה סביבו את כל הערפיליות מסתובבות לאיטן סביב עצמן; הוא יֵדע שהיקום הוא שמסתובב ולא הוא־עצמו, מפני שהוא לא ירגיש שום סחרחורת. מה שהופך את היקום הזה למשונה באמת, כפי שגֵדֶל הראה, זו הדרך שבה הגיאומטריה שלו מערבבת את המרחב עם הזמן. דייר ביקום של גֵדֶל, שישלים הקפה שלמה ארוכה די הצורך בספינת חלל, יוכל לנסוע בחזרה לכל נקודה בעבר שלו־עצמו.

איינשטיין לא היה מרוצה במיוחד לשמע הידיעה שהמשוואות שלו מאפשרות מסלולים במרחב בסגנון אליס בארץ הפלאות, המתפתלים בלולאה וחוזרים לאחור בזמן; לאמיתו של דבר, הוא הודה שהוא "מוטרד" מן היקום של גֵדֶל. פיזיקאים אחרים התפעלו מהעובדה שמסע בזמן, שהיה בעבר חומר הגלם של סיפורי מדע בדיוני, מתיישב ככל הנראה עם חוקי הפיזיקה. (ואז הם התחילו לדאוג ולשאול מה יקרה אם מישהו יחזור בזמן לימים שלפני היוולדו, ויהרוג את סבא שלו.) גֵדֶל עצמו שאב לֶקח אחר מהנושא. אם מסע בזמן הוא אפשרי, כך אמר, כי אז הזמן עצמו הוא בלתי אפשרי. עָבָר שאפשר לשוב ולבקר בו, לא באמת חלף. והעובדה שהיקום הממשי מתרחב, ולא מסתובב במעגל, אינה רלוונטית לעניין. הזמן, כמו אלוהים, או שהוא הכרחי, או שאינו קיים; אם הוא נעלם ביקום אפשרי אחד, הרי קיומו מתערער בכל יקום אפשרי, לרבות זה שלנו.

המתנה הקוסמולוגית המשונה של גֵדֶל הגיעה אל איינשטיין בתקופה עגומה בחייו. המאמץ של איינשטיין לכונן את תיאוריית השדות המאוחדת של הפיזיקה לא נשא פרי, וההתנגדות שלו לתורת הקוונטים הרחיקה אותו מן הזרם המרכזי של הפיזיקה. חיי המשפחה לא הביאו לו נחת רבה. הוא היה נשוי פעמיים, ובשתי הפעמים הנישואים לא צלחו; בת שנולדה לו מחוץ לנישואים נעלמה לכאורה מההיסטוריה; מבין שני בניו, אחד היה סכיזופרני, ויחסו לבן השני היה מנוכר. מעגל החברים של איינשטין הצטמק, וכל מה שנותר בו היה גֵדֶל ומעט אחרים. אחת מהם היתה המלכה אליזבת מבלגיה, והוא גילה את ליבו בפניה בשנת 1955 כאשר כתב לה כי "הכבוד המוגזם שמעתירים על עבודת חיי גורם לי תחושה עזה של אי־נוחות. אני חש שמאלצים אותי לחשוב על עצמי כעל נוכל שלא מרצוני". הוא מת חודש לאחר מכן, בהיותו בן שבעים ושש. כאשר גֵדֶל ועמית נוסף הלכו למשרדו של איינשטיין במכון כדי לטפל בניירות שלו, הם גילו שהלוח מכוסה במשוואות ללא מוצא.

לאחר מותו של איינשטיין, גֵדֶל נעשה מסוגר עוד יותר. הוא העדיף לנהל את כל שיחותיו בטלפון, גם אם בן־שיחו היה במרחק מטרים מעטים ממנו. כאשר רצה להימנע לחלוטין מלפגוש מישהו, היה קובע פגישה בזמן ובמקום שבחר במיוחד, ובבוא השעה היעודה הקפיד להימצא הרחק ממקום הפגישה. סממני הכבוד שהעולם רצה להרעיף עליו עשו אותו זהיר ביותר. הוא הגיע כדי לקבל תואר דוקטור של כבוד בשנת 1953 בהַרוורד, שם היללו את משפטי אי־השלמות שלו כתגלית המתמטית החשובה ביותר של מאה השנים האחרונות, אבל מאוחר יותר הוא התלונן "שדחפו אותו בלי שום הצדקה לחברתו הלוחמנית להחריד" של ג'ון פוסטר דאלֶס (Dulles, שר החוץ בימי כהונתו של הנשיא אייזנהאואר), שקיבל את התואר לצידו. כאשר הוענקה לו המדליה הלאומית למדעים בשנת 1974, הוא סירב לנסוע לוושינגטון ולפגוש את הנשיא ג'רלד פורד בבית הלבן, למרות שהציעו להעמיד לרשותו נהג שיסיע אותו עם אישתו. היו לו התקפים של חזיונות־שווא, והוא דיבר בנימה קודרת על כוחות מסוימים שפועלים בעולם "שמעלימים את הטוב". מרוב פחד שזוממים להרעיל אותו, הוא סירב לאכול. בסופו של דבר, כשנראה "כמו גופה חיה" (לדברי חבר שלו), נלקח לבית החולים בפּרינסטוֹן. שבועיים לאחר מכן, ב-14 בינואר 1978, נכנע גופו להרעבה העצמית הזאת והוא הלך לעולמו. לפי תעודת הפטירה שלו, סיבת המוות היתה "תת־תזונה ותשישות" שנבעו מ"הפרעת אישיות".

תחושה של חוסר תוחלת מצטיירת משנות חייהם האחרונות של גֵדֶל ואיינשטיין. ועם זאת, מה שעשוי להיתפס כחוסר התוחלת הגדול ביותר היא האמונה באי־הממשות של הזמן, ששניהם התעקשו עליה. קל להבין את הפיתוי. אם הזמן אינו קיים אלא אצלנו בתודעה, אולי יש לנו תקווה להימלט ממנו אל נצח אַל־זמני. אז היינו יכולים לומר, כמו ויליאם בלייק (Blake), "רואה אני את העבר, ההווה, והעתיד מתקיימים בה־בעת / לנגד עיני" (מתוך שירו Jerusalem: Visions of Albion). במקרה של גֵדֶל, אפשר שהיתה זו האימה שרדפה אותו מילדות בגלל החשש של נזק קטלני שנגרם לליבו, אימה שעוררה בו משיכה עזה לרעיון של יקום נטול־זמן. בימיו האחרונים הוא אמר לחבר ואיש־אמונים שלו שהוא חיכה זמן רב להארה שתאפשר לו לראות את העולם באור חדש, אלא שהיא מעולם לא הגיעה.

גם איינשטיין לא היה מסוגל להתנתק כליל מן הזמן. "עבור אלה מבינינו שמאמינים בפיזיקה", כתב לאלמנה של חבר שהלך לעולמו זמן קצר קודם לכן, "ההפרדה הזאת בין עבר, הווה ועתיד אינה אלא אשליה, גם אם אשליה עיקשת". כאשר הגיעה שעתו־הוא, שבועות מעטים לאחר מכן, הוא אמר: "הגיע הזמן ללכת".