עמוס טלשיר נולד בקיבוץ מעלה החמישה וגדל בבאר שבע. הוריו, קייזי ואריה טישלר, הם ניצולי השואה: אביו היה מזכיר מועצת פועלי באר שבע ואמו עקרת בית ותופרת. במשפחה עוד אח והאחות, הסופרת רחל טלשיר. בשנת 1968 התגייס ללהקת הנח"ל והיה למפקד הלהקה. יחד איתו שירתו מירי אלוני, אופירה גלוסקא, טליה גולדברג, דסי הדרי, מוטי פליישר, אלי מגן, מיכל בר זיו, אמוץ ברונטמן, דני סנדרסון, מאיר פניגשטיין, נחום שגיא, רותי הולצמן, אסתי כץ וירדנה ארזי. השתתף בתקליט "כל הכבוד לנח"ל" (1968) אשר שיחזר את להיטי הלהקה. במסגרת שירותו הצבאי השתתף בתוכניות "קרנבל בנח"ל" (1969) ו"בהיאחזות הנח"ל בסיני" (1970). את קולו הבולט ניתן היה לשמוע בשיר "אחות לנו קטנה", "סלח המפקד" ובשיר לשלום. בלהקה הכיר את ירדנה ארזי ולאחר כשנה התחתנו . הנישואין נמשכו כשבע שנים . לאחר שחרורו מהלהקה למד בימוי קולנוע וכתיבה יוצרת באוניברסיטת ת"א.

טלשיר למד בחוג לקולנוע וטלוויזיה באוניברסיטת תל אביב. בשנת 1982 נישא לענת ינוקא, ולזוג שלושה ילדים.